Логин:   Пароль:  

Соцсети






Автор:
Написал: Amro Дата: 13-Сен-2010
Механические колебания


Основные формулы


Всякое колебательное движение, в том числе и гармоническое, характеризуется амплитудой A, периодом колебаний T, частотой \nu, циклической (круговой) частотой \omega и фазой колебаний \varphi.

Амплитудой A называют наибольшее значение колеблющейся величины.
Число полных колебаний в единицу времени называют частотой:
\nu=\frac{n}{t}.
Циклическая (круговая) частота - это число полных колебаний в течении 2\pi с:
\omega=\frac{2\pi{n}}{t}=2\pi{\nu}.
Периодом называю время, в течении которого совершается одно полное колебание:
T=\frac{t}{n}=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{1}{\nu}.

Смещение, скорость и ускорение при гармоническом колебании определяются уравнениями

x=A\sin(\omega{t}+\varphi_0),
v=\dot x=A\omega\cos(\omega{t}+\varphi_0),
a=\ddot x=-A\omega^2\sin(\omega{t}+\varphi_0)=-\omega^2x.

Здесь (\omega{t}+\varphi_0) - фаза колебаний, а \varphi_0 - начальная фаза.

Сила, действующая на тело при свободном гармоническом колебании (квазиупругая сила), всегда пропорциональна смещению и направлена в сторону, противоположную смещению:

F=ma=-m{\omega_0}^2x=-kx

где k=m{\omega_0}^2 - коэффициент квазиупругой силы, измеряемый силой, вызывающей смещение x, равное единице.

При отсутствии сопротивления среды циклическая частота \omega_0 свободных гармонических колебаний, называемых собственной циклической частотой и период T равны:

\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}, T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}


Период колебания математического маятника длиной l равен

T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}.

Период колебаний физического маятника

T=2\pi\sqrt{\frac{I}{mgd}},

где I - момент инерции маятника относительно оси качаний, d - расстояние от оси его до центра тяжести.


Полная энергия тела, совершающего гармонические колебания, постоянна и равна

W=\frac{m\omega^2A^2}{2}.

Уравнение смещения в затухающих колебаниях при наличии силы сопротивления F_s пропорциональной скорости (F_s=-rv, где r - коэффициент сопротивления) имеет вид:

x=A_0e^{-\beta{t}}\sin(\omega{t}+\varphi_0).

Здесь A_0e^{-\beta{t}} - убывающая по времени амплитуда смещения; \beta - коэффициент затухания; \omega - циклическая частота; A_0,\varphi_0 - начальные амплитуда и фаза, определяются из начальных условий.

Величины \beta и \omega выражаются через параметры системы r,m,k формулами:

\beta=\frac{r}{2m},

\omega=\sqrt{{\omega_0}^2-\beta^2}=\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{r^2}{4m^2}}.

Логарифмический декремент затухания

\lambda=\ln(\frac{A_1}{A_2})=\beta{T},

где A_1,A_2 - амплитуды двух последовательных колебаний.

Амплитуда вынужденных колебаний

A=\frac{h}{\sqrt{({\omega_0}^2-\omega^2)^2+4\beta^2\omega^2}},

где h - есть отношение амплитуды вынуждающей силы к массе тела; \omega_0 - собственная циклическая частота; \omega - циклическая частота вынуждающей силы.

Резонансная циклическая частота равна

\omega_r=\sqrt{{\omega_0}^2-2\beta^2}.
-------------


sfiz.ru
Комментарии: (0) Рейтинг:
Пока комментариев нет
2006-2015г. © Научно-Образовательный портал "Вся Физика"
Копирование материалов с данного сайта разрешено, при условии наличия ссылки на ресурс "Вся Физика"
Страница создана за 0.043 секунды