Механические колебания (Основные формулы)

Механические колебания

Основные формулы

Всякое колебательное движение, в том числе и гармоническое, характеризуется амплитудой \(A\), периодом колебаний \(T\), частотой \(\nu\), циклической (круговой) частотой \(\omega\) и фазой колебаний \(\varphi\).

Амплитудой \(A\) называют наибольшее значение колеблющейся величины.

Число полных колебаний в единицу времени называют частотой:

\(\nu=\frac{n}{t}\).

Циклическая (круговая) частота - это число полных колебаний в течении \(2\pi\) с:

\(\omega=\frac{2\pi{n}}{t}=2\pi{\nu}\).

Периодом называю время, в течении которого совершается одно полное колебание:

\(T=\frac{t}{n}=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{1}{\nu}\).

Смещение, скорость и ускорение при гармоническом колебании определяются уравнениями

\(x=A\sin(\omega{t}+\varphi_0)\),

\(v=\dot x=A\omega\cos(\omega{t}+\varphi_0)\),

\(a=\ddot x=-A\omega^2\sin(\omega{t}+\varphi_0)=-\omega^2x\).

Здесь \((\omega{t}+\varphi_0)\) - фаза колебаний, а \(\varphi_0\) - начальная фаза.

Сила, действующая на тело при свободном гармоническом колебании (квазиупругая сила), всегда пропорциональна смещению и направлена в сторону, противоположную смещению:

\(F=ma=-m{\omega_0}^2x=-kx\)

где \(k=m{\omega_0}^2\) - коэффициент квазиупругой силы, измеряемый силой, вызывающей смещение \(x\), равное единице.

При отсутствии сопротивления среды циклическая частота \(\omega_0\) свободных гармонических колебаний, называемых собственной циклической частотой и период \(T\) равны:

\(\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}\), \(T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\)

Период колебания математического маятника длиной \(l\) равен

\(T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\).

Период колебаний физического маятника

\(T=2\pi\sqrt{\frac{I}{mgd}}\),

где \(I\) - момент инерции маятника относительно оси качаний, \(d\) - расстояние от оси его до центра тяжести.

Полная энергия тела, совершающего гармонические колебания, постоянна и равна

\(W=\frac{m\omega^2A^2}{2}\).

Уравнение смещения в затухающих колебаниях при наличии силы сопротивления \(F_s\) пропорциональной скорости (\(F_s=-rv\), где \(r\) - коэффициент сопротивления) имеет вид:

\(x=A_0e^{-\beta{t}}\sin(\omega{t}+\varphi_0)\).

Здесь \(A_0e^{-\beta{t}}\) - убывающая по времени амплитуда смещения; \(\beta\) - коэффициент затухания; \(\omega\) - циклическая частота; \(A_0,\varphi_0\) - начальные амплитуда и фаза, определяются из начальных условий.

Величины \(\beta\) и \(\omega\) выражаются через параметры системы \(r,m,k\) формулами:

\(\beta=\frac{r}{2m}\),

\(\omega=\sqrt{{\omega_0}^2-\beta^2}=\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{r^2}{4m^2}}\).

Логарифмический декремент затухания

\(\lambda=\ln(\frac{A_1}{A_2})=\beta{T}\),

где \(A_1,A_2\) - амплитуды двух последовательных колебаний.

Амплитуда вынужденных колебаний

\(A=\frac{h}{\sqrt{({\omega_0}^2-\omega^2)^2+4\beta^2\omega^2}}\),

где \(h\) - есть отношение амплитуды вынуждающей силы к массе тела; \(\omega_0\) - собственная циклическая частота; \(\omega\) - циклическая частота вынуждающей силы.

Резонансная циклическая частота равна

\(\omega_r=\sqrt{{\omega_0}^2-2\beta^2}\).

-------------

Источник: sfiz.ru

Комментарии: (0)

Пока комментариев нет, вы можете стать первым!

Sponsor

Самое читаемое

Sponsor