Формулы

В справочнике приведены основные законы и формулы по всем разделам физики.

Цель пособия – помочь учащимся освоить материал программы, научить активно применять теоретические основы физики как рабочий аппарат, позволяющий решать конкретные задачи, приобрести уверенность в самостоятельной работе.

Пособие подготовлено на кафедре общей физики ТПУ, соответствует программе курса физики, общеобразовательных учебных заведений и направлено на активизацию научного мышления и познавательной деятельности учащихся.

Предназначено для учащихся средних школ, лицеев, гимназий и подготовки абитуриентов к поступлению в технические вузы. Ориентировано на организацию самостоятельной индивидуальной работы.

УДК 53(075.8)

ББК 22.3я73

Рекомендовано к печати Редакционно-издательским советом

Томского политехнического университета

Рецензенты

Доктор физико-математических наук, профессор,

заведующий кафедрой теоретической физики ТГУ

А.В. Шаповалов

Доктор физико-математических наук, профессор,

заведующий кафедрой общей информатики ТГПУ

А.Г. Парфенов

ОСНОВЫНЕ ЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫ

Часть I. Механика

1. Кинематика материальной точки

Уравнение движения материальной точки \(\vec{r}=\)xi + yj + zk.
Вектор перемещения \(\Delta \vec{r}=\mathit{\Delta xi}+\mathit{\Delta yj}+\mathit{\Delta zk}\).
Модуль вектора перемещения \(\left\vert \Delta \vec{r}\right\vert =\sqrt{{\mathit{\Delta x}}^{2}+{\mathit{\Delta y}}^{2}+{\mathit{\Delta z}}^{2}}\).
Средняя скорость \(\vec{\upsilon }\text{=}\frac{\Delta \vec{r}}{\mathit{\Delta t}}\).
Мгновенная скорость \(\vec{\upsilon }=\frac{d\vec{r}}{\mathit{dt}}={\upsilon }_{x}i+{\upsilon }_{y}j+{\upsilon }_{z}k\).
Модуль скорости \(\upsilon =\sqrt{{\upsilon }_{x}^{2}+{\upsilon }_{y}^{2}+{\upsilon }_{z}^{2}}\).
Среднее ускорение \(\vec{a}\text{=}\frac{\Delta \vec{\upsilon }}{\mathit{\Delta t}}\).
Мгновенное ускорение \(\vec{a}=\frac{d\vec{\upsilon }}{\mathit{dt}}={\mathit{ia}}_{x}+\mathit{ja}{+}_{y}{\mathit{ka}}_{z}\).
Модуль ускорения \(a=\sqrt{{a}_{x}^{2}+{a}_{y}^{2}+{a}_{z}^{2}}\).
Полное ускорение при криволинейном движении \(\vec{a}={\vec{a}}_{n}+{\vec{a}}_{\tau }\).
Тангенциальная составляющая ускорения \({a}_{\tau }=\frac{\mathit{d\upsilon }}{\mathit{dt}}\).
Нормальная составляющая ускорения \({a}_{n}=\frac{{\upsilon }^{2}}{r}\).
Кинетическое уравнение равномерного движения материальной точки вдоль оси х \(x={x}_{0}+\mathit{\upsilon t}\text{.}\)
Уравнения равнопеременного поступательного движения

\(x={\upsilon }_{0}t\pm \frac{{\text{at}}^{2}}{2};\phantom{\rule{7em}{0ex}}\upsilon ={\upsilon }_{0}\pm \text{at}\).

Кинетическое уравнение равномерного вращения \(\phi ={\phi }_{0}+\mathit{\omega t}\).
Угловая скорость \(\vec{\omega }=\frac{d\vec{\phi }}{\mathit{dt}}\).
Угловое ускорение \(\vec{\epsilon }=\frac{d\vec{\omega }}{\mathit{dt}}\).
Период вращения \(T=\frac{2\pi }{\omega }\).
Частота вращения \(v=\frac{1}{T}\).
Циклическая частота вращения \(\omega =2\mathit{\pi v}\).
Уравнения равнопеременного вращательного движения

\(\omega ={\omega }_{0}\pm \mathit{\epsilon t},\phantom{\rule{1.5em}{0ex}}\phi ={\omega }_{0}t\pm \frac{{\mathit{\epsilon t}}^{2}}{2}\).

Связь между линейными и угловыми величинами при вращательном движении \(S=\mathit{R\phi }\), \(\upsilon =\mathit{R\omega }\), \({a}_{\tau }=\mathit{R\epsilon }\), \({a}_{n}={\mathit{R\omega }}^{2}\).

2. Динамика материальной точки

Импульс (количество движения) \(\vec{p}=m\vec{\upsilon }\).
Закон сохранения импульса (для замкнутой системы)\(\vec{p}=\sum _{i=1}^{n}{m}_{i}{\vec{\upsilon }}_{i}=\text{const}\).
Второй закон Ньютона \(\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{\mathit{dt}}=m\vec{а}\).
Третий закон Ньютона \({\vec{F}}_{\text{12}}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}=\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}-{\vec{F}}_{\text{21}}\).
Центр масс системы материальных точек \({\vec{r}}_{c}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^{n}{r}_{i}{m}_{i}\).
Импульс системы тел \(\vec{p}=m{\vec{\upsilon }}_{c}\).
Теорема о движении центра масс \({\vec{a}}_{c}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^{n}{F}_{i\text{внеш}}\).

3. Силы в механике

Связь веса тела с силой тяжести и реакцией опоры \(\vec{G}=m\vec{g}=-\vec{R}\).

Соотношение между весом, силой тяжести и ускорением \(G=m\left(g\pm a\right)\).
Сила трения скольжения \({F}_{\text{тр}}=\mathit{\mu N}\).
Для тела на наклонной плоскости

\({F}_{\text{тр}}=\mu \text{mg}\text{cos}\alpha ,\phantom{\rule{6.5em}{0ex}}F=\text{mg}\text{sin}\alpha ,\phantom{\rule{7.5em}{0ex}}a=g\left(\text{sin}\alpha -\mu \text{cos}\alpha \right)\).

Уравнение Ньютона для неинерциальной системы \(m{\vec{a}}^{\text{'}}=\vec{F}+{\vec{F}}_{\text{ин}}\).

Центростремительная сила \({F}_{\text{цс}}={\text{ma}}_{\text{цс}}=m\frac{{\upsilon }^{2}}{R}\).
Центробежная сила \({F}_{\text{цб}}={\text{ma}}_{n}={\mathit{т\omega }}^{2}R\).
Сила Кориолиса \({\vec{F}}_{к}=2т\left\lbrack \vec{\upsilon },\vec{\omega }\right\rbrack \).
Закон Гука для пружины \({F}_{\text{упр}}=-\text{kx}\).
Связь между силой и потенциальной энергией \(\vec{F}=-\frac{\mathit{dU}}{d\vec{r}}\).
Потенциальная энергия упругой пружины \(U=\frac{{\text{kx}}^{2}}{2}\).
Работа, совершённая пружиной \(A=-\frac{{\text{kx}}^{2}}{2}\).
Напряжение \(\sigma =\frac{{F}_{\text{упр}}}{S}\).
Приращение длины \(\mathit{\Delta l}=\frac{{l}_{0}\sigma }{E}\).
Относительное продольное растяжение (сжатие) \(\epsilon =\frac{\mathit{\Delta l}}{{l}_{0}}=\frac{\sigma }{E}\).
Относительное поперечное растяжение (сжатие) \({\epsilon }^{\text{'}}=\frac{\mathit{\Delta d}}{{d}_{0}}\).
Коэффициент Пуассона \(\mu =\frac{{\epsilon }^{\text{'}}}{\epsilon }\).
Закон Гука для стержня \(\epsilon =\frac{1}{Е}\sigma \).
Модуль Юнга \(E=\frac{{\text{Fl}}_{0}}{\mathit{S\Delta l}}\).
Объемная плотность потенциальной энергии \({w}_{0}=\frac{{\sigma }^{2}}{2E}\).

4. Энергия. Работа. Законы сохранения

* Кинетическая энергия \(K=\frac{{\mathit{m\upsilon }}^{2}}{2}=\frac{{p}^{2}}{2m}\).

Изменение кинетической энергии \(\mathit{\Delta K}=A\).
Работа переменной силы на участке траектории 1–2 \(A=\underset{1}{\overset{2}{\int }}F\text{cos}\alpha \text{dS}\).
Мгновенная мощность \(N=\frac{\mathit{dA}}{\mathit{dt}}=\mathit{F\upsilon }\).
Средняя мощность \(N\text{=}\frac{A}{\mathit{\Delta t}}\).
Работа консервативных сил \(A={U}_{1}-{U}_{2}\).
Потенциальная энергия тела при гравитационном взаимодействии \(U=\text{mgh}\).
Гравитационное взаимодействие между массами \(m\)и \(M\)\(U=-\gamma \frac{\text{Mm}}{r}\).
Полная механическая энергия системы \(E=K+U\).

Закон сохранения полной механической энергии (для замкнутой системы) \(K+{U}_{\text{внутр}}=E=\text{const}\).
Скорость шаров массами \({m}_{1}\)и \({m}_{2}\)после абсолютного упругого центрального удара

\({\upsilon }_{{1}^{\prime }}=\frac{\left({m}_{1}-{m}_{2}\right){\upsilon }_{1}+2{m}_{2}{\upsilon }_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}}\)и \({\upsilon }_{{2}^{\prime }}=\frac{\left({m}_{2}-{m}_{1}\right){\upsilon }_{2}+2{m}_{1}{\upsilon }_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}\).

* Скорость шаров после абсолютного неупругого удара \(\upsilon =\frac{{m}_{1}{\upsilon }_{1}+{m}_{2}{\upsilon }_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}}\).

Закон сохранения импульса при движении ракеты \({m}_{р}{\upsilon }_{р}={m}_{г}{\upsilon }_{г}\).
Формула Циолковского \({\upsilon }_{р}=-{\upsilon }_{г}\text{ln}\frac{{M}_{0}}{M}\).

5. Динамика вращательного движения твёрдого тела

* Момент силы \({\vec{M}}_{i}=\lbrack {\vec{r}}_{i},{\vec{F}}_{i}\rbrack \)или \(M=\text{Fr}\text{sin}\alpha =\text{Fl}\).

Момент импульса относительно точки \(\vec{L}=\left\lbrack \vec{r},\vec{p}\right\rbrack =\left\lbrack \vec{r},m\vec{\upsilon }\right\rbrack \).
Основной закон динамики вращательного движения относительно точки \(\frac{d\vec{L}}{\mathit{dt}}={\vec{M}}^{\text{внеш}}\).
Момент импульса относительно неподвижной оси \({L}_{z}=\sum _{i=1}^{n}{m}_{i}{\upsilon }_{i}{r}_{i}={I}_{z}\omega \).
Уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела \(M=\mathit{I\epsilon }\).
Закон сохранения момента импульса \(\vec{L}=\text{const}\)или \(I\vec{\omega }=\text{const}\).
Момент инерции системы (тела) \(I=\sum _{i=1}^{n}{m}_{i}{r}_{i}^{2}\)или \(I=\underset{0}{\overset{m}{\int }}{R}^{2}\mathit{dm}\). \(\upsilon \)
Момент инерции полого и сплошного цилиндров (или диска) относительно оси симметрии \({I}_{c}={\text{mR}}^{2}\), \({I}_{c}=\frac{1}{2}{\text{mR}}^{2}\).
Момент инерции шара и сферы \({I}_{c}=\frac{2}{5}{\text{mR}}^{2}\), \({I}_{c}=\frac{2}{3}{\text{mR}}^{2}\).
Момент инерции тонкого стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину \({I}_{c}=\frac{1}{\text{12}}{\text{ml}}^{2}\).
Момент инерции тонкого стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец \({I}_{с}=\frac{1}{3}{\text{ml}}^{2}\).
Теорема Штейнера \(I={I}_{c}+{\text{md}}^{2}\).
Кинетическая энергия вращающегося тела \({K}_{\text{вр}}=\frac{{\mathit{I\omega }}^{2}}{2}\).
Полная кинетическая энергия катящегося тела \(K=\frac{{\mathit{m\upsilon }}^{2}}{2}+\frac{{\mathit{I\omega }}^{2}}{2}\).
Закон сохранения энергии для тела катящегося с высоты h

\(\text{mgh}=\frac{{\mathit{m\upsilon }}^{2}}{2}+\frac{{\mathit{I\omega }}^{2}}{2}\).

6. Теория тяготения Ньютона

* Закон всемирного тяготения \(F=\gamma \frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}\)или \(\vec{F}=\gamma \frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}\frac{\vec{r}}{r}\).

Потенциальная энергия тела массы т, расположенного на расстоянии r от большого тела массы М \(U=-\gamma \frac{\text{Mm}}{r}\).
Напряжённость поля тяготения \(\vec{G}=\frac{\vec{F}}{m}\).
Потенциал поля тяготения \(\phi =\frac{U}{m}=-\gamma \frac{M}{R}\).
Взаимосвязь между потенциалом поля тяготения и его напряжённостью \(\vec{G}=-\text{grad}\phi \).
Работа по перемещению тела в гравитационном поле

\(A=m\left(\gamma \frac{M}{{r}_{2}}-\gamma \frac{M}{{r}_{1}}\right)={U}_{1}-{U}_{2}\).

* Потенциальная энергия тела массой т на расстоянии r от Земли

\(U-{U}_{З}={\text{mgR}}_{З}^{2}\left(\frac{1}{{R}_{З}}-\frac{1}{r}\right)\).

* Полная энергия тела в гравитационном поле \(E=K+U=\frac{{\mathit{m\upsilon }}^{2}}{2}-\gamma \frac{\text{Mm}}{r}=\text{const}\).

7. Законы Кеплера

Второй закон Кеплера \(\frac{\mathit{dS}}{\mathit{dt}}=\text{const}\).

Третий закон Кеплера \(\frac{{T}_{1}^{2}}{{T}_{2}^{2}}=\frac{{R}_{1}^{3}}{{R}_{2}^{3}}\).
Первая космическая скорость \({\upsilon }_{1}=\sqrt{\text{gR}}\).
Вторая космическая скорость \({\upsilon }_{2}=\sqrt{2\text{gR}}\).

8. Специальная теория относительности (СТО)

* Преобразования Галилея

\(x={x}^{\text{'}}+\mathit{\upsilon t}\), \(y={y}^{\text{'}}\), \(z={z}^{\text{'}}\), \(t={t}^{\text{'}}\)или \(\vec{r}={\vec{r}}^{\text{'}}+\vec{\upsilon }t\).

* Закон сложения скоростей в классической механике \(u={\upsilon }^{\text{'}}+\upsilon \).

Преобразования Лоренца

\(x=\frac{x\text{'}+\mathit{\upsilon t}}{\sqrt{1-{\beta }^{2}}};\)\(y=y\text{';}\)\(z=z\text{';}\)\(t=\frac{t\text{'}+\frac{\mathit{\upsilon x}\text{'}}{{c}^{2}}}{\sqrt{1-{\beta }^{2}}}\).

Интервал времени между событиями \(\Delta {t}^{\text{'}}=\frac{\upsilon \left({x}_{1}-{x}_{2}\right)}{{c}^{2}\sqrt{1-\upsilon /{c}^{2}}}\).
Релятивистское (Лоренцево) сокращение длины стержня \(l=l{}_{0}\sqrt{1-\upsilon /{c}^{2}}\)
Релятивистское замедление хода часов \(\mathit{\Delta t}=\frac{\Delta {t}^{\text{'}}}{\sqrt{1-(\upsilon /c{)}^{2}}}\)
Релятивистский закон сложения скоростей \(u=\frac{{\upsilon }^{\text{'}}+\upsilon }{1+\frac{{\upsilon }^{\text{'}}\upsilon }{{c}^{2}}}\).
Масса релятивистской частицы \(m=\frac{{m}_{0}}{\sqrt{1-(\upsilon /c{)}^{2}}}\).
Релятивистское выражение для импульса \(\vec{p}=\frac{m\vec{\upsilon }}{\sqrt{1-(\upsilon /c{)}^{2}}}\).
Связь между полной энергией и импульсом релятивистской частицы

\(E=\sqrt{{m}_{0}^{2}{c}^{4}+{p}^{2}{c}^{2}}\text{.}\)

* Релятивистское выражение для энергии \(E=\frac{{\text{mc}}^{2}}{\sqrt{1-{\upsilon }^{2}/{c}^{2}}}\).

Кинетическая энергия релятивистской частицы

\(K=E-{E}_{0}={\text{mc}}^{2}\left(\frac{1}{\sqrt{1-{\upsilon }^{2}/{c}^{2}}}-1\right)\).

* Закон взаимосвязи массы и энергии \(E={\text{mc}}^{2}=\frac{{m}_{0}{c}^{2}}{\sqrt{1-(\upsilon /c{)}^{2}}}\).

Энергия покоя \({E}_{0}={\text{mc}}^{2}\).
Взаимосвязь массы и энергии покоя \({\mathit{\Delta E}}_{0}=\Delta {\text{mc}}^{2}\).
Масса образовавшейся частицы \(M=\frac{2m}{\sqrt{1-{\upsilon }^{2}/{c}^{2}}}> 2m\).
Энергия связи \({E}_{\text{св}}={c}^{2}\mathit{\Delta M}\).
Дефект массы \(\mathit{\Delta M}=\sum {m}_{i}-M\).
Условие существования черной дыры \(\frac{{m}_{\gamma }{c}^{2}}{2}\le G\frac{{m}_{\gamma }M}{{r}_{g}}\)
Размеры черной дыры \({r}_{g}\le G\frac{2M}{{c}^{2}}\).

9. Механика жидкостей и газов

* Давление \(P=\frac{F}{S}\).

Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости \(\text{Sυ}=\text{const}\).
Уравнение Бернулли \(\frac{{\text{ρυ}}^{2}}{2}+\rho \text{gh}+P=\text{const}\).
Соотношение для гидравлического пресса \(\frac{{F}_{2}}{{F}_{1}}=\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}\).
Закон сообщающихся сосудов \(\frac{{h}_{1}}{{h}_{2}}=\frac{{\rho }_{2}}{{\rho }_{1}}\).
Архимедова сила \({F}_{A}=\rho \text{gV}\).
Формула Торричелли \(\upsilon =\sqrt{2\text{gh}}\).
Формула Стокса \(F=6\text{πη}\mathit{r\upsilon }\).
Формула Пуазейля \(V={\mathit{\pi R}}^{4}\Delta \text{Pt}/(8\mathit{\eta l})\).
Формула Лапласа для произвольной поверхности \(\mathit{\Delta P}=\sigma \left(1/{R}_{1}+1/{R}_{2}\right)\).
Формула Лапласа для сферической поверхности \(\mathit{\Delta P}=2\sigma /R\).
Высота подъема жидкости в капиллярной трубке \(h=\frac{2\sigma \text{cos}\theta }{\rho \text{gr}}\).
Поверхностное натяжение \(\sigma =\frac{F}{\text{lb}}\)или \(\sigma =\frac{\mathit{\Delta E}}{\mathit{\Delta S}}\).

Часть II. Молекулярная физика. Термодинамика

1. Молекулярно-кинетическая теория

* Молярная масса вещества \(\mu ={\text{Am}}_{\text{ед}}{N}_{A}\)или \(\mu =\frac{m}{v}\).

Атомная масса \(A=\frac{{m}_{A}}{{m}_{\text{ед}}}\).
Атомная единица массы \({m}_{\text{ед}}=\frac{1}{\text{12}{m}_{C}}1,\text{66}\cdot {\text{10}}^{-\text{27}}\text{кг}\).
Число Авогадро \({N}_{A}=\frac{\mu }{M\cdot {m}_{\text{ед}}}=6,\text{023}\cdot {\text{10}}^{\text{26}}\frac{1}{\text{моль}}\text{.}\)
Число Лошмидта \({N}_{L}=\frac{{P}_{0}}{{\text{kT}}_{0}}=2,\text{68}\cdot {\text{10}}^{\text{25}}{\text{м}}^{-3}\).
Концентрация частиц \(n=\frac{N}{V}\).
Универсальная газовая постоянная \(R={\text{kN}}_{A}=8,\text{31}\frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot К}\).
Нормальные условия \({P}_{0}={\text{10}}^{5}\text{Па;}{T}_{0}=\text{273}\text{K}\).
Давление на поверхность \(P=\frac{\mathit{\Delta F}}{\mathit{\Delta S}}\).
Давление газа на стенку сосуда \(P=\frac{F}{S}=\frac{1}{3}{m}_{0}{\upsilon }_{x}^{2}\).
Основное уравнение МКТ \(P=\frac{2}{3}n< {E}_{k}\text{=}\text{nkT}=\frac{1}{3}{\text{nm}}_{0}< {\upsilon }_{\text{кв}}{> }^{2}\).
Абсолютная температура \(T={m}_{0}< {\upsilon }^{2}> \frac{}{3k}\).
Объем газа в трубке газового термометра \(V=\frac{\text{nk}}{{P}_{0}}T\).
Изохорический процесс. Закон Шарля \(\frac{P}{T}=\text{const}\)при \(V,\phantom{\rule{1em}{0ex}}m=\text{const}\).
Уравнение изохорического процесса для температуры по шкале Цельсия \(P={P}_{0}\left(1+\mathit{\alpha t}\right)\).
Изобарический процесс. Закон Гей-Люссака \(\frac{V}{T}=\text{const,}\)при \(P,\phantom{\rule{1em}{0ex}}m=\text{const}\)
Изотермический процесс. Закон Бойля – Мариотта \(\text{PV}=\text{const}\), при \(T,\phantom{\rule{1em}{0ex}}m=\text{const}\).
Адиабатический процесс (изоэнтропийный) \(S=\text{const}\), \(\mathit{\Delta S}=0\).
Политропический процесс \(C=\text{const}\).

Закон Дальтона \({P}_{\text{см}}={P}_{1}+P{}_{2}+\text{.}\text{.}\text{.}+{P}_{n}\).
Объединенный газовый закон (закон Клапейрона) \(\frac{\text{PV}}{T}=\text{const}\).

Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева – Клапейрона) \(\text{PV}=\frac{m}{\mu }\text{RT}=\text{vRT}\); для смеси газов \(\text{PV}=\left(\frac{{m}_{1}}{{\mu }_{1}}+\frac{{m}_{2}}{{\mu }_{2}}+\frac{{m}_{n}}{{\mu }_{n}}\right)\text{RT}\).

2. Распределение газовых молекул по скоростям и энергиям

* Скорость звука в газе \({\upsilon }_{\text{зв}}=\sqrt{\gamma \frac{P}{\rho }}\).

Наиболее вероятная скорость \({\upsilon }_{\text{вер}}=\sqrt{\frac{2\text{kT}}{m}}\)или \({\upsilon }_{\text{вер}}=\sqrt{\frac{2\text{RT}}{\mu }}\).
Средняя квадратичная скорость \({\upsilon }_{\text{кв}}=\sqrt{\frac{3\text{kT}}{m}}\)или \({\upsilon }_{\text{кв}}=\sqrt{\frac{3\text{RT}}{\mu }}\).
Средняя арифметическая скорость \({\upsilon }_{\text{ср}}=\sqrt{\frac{8\text{kT}}{\mathit{\pi m}}}\)или \({\upsilon }_{\text{ср}}=\sqrt{\frac{8\text{RT}}{\mathit{\pi \mu }}}\).
Относительная скорость \(u=\frac{\upsilon }{{\upsilon }_{\text{вер}}}\).
Функция распределения Максвелла

\(f\left(\upsilon \right)=\frac{1}{n}\frac{\mathit{dn}}{\mathit{d\upsilon }}=\frac{4}{\sqrt{\pi }}{\left(\frac{m}{2\text{kT}}\right)}^{\frac{3}{2}}\text{exp}\left(-\frac{{\mathit{m\upsilon }}^{2}}{2\text{kT}}\right){\upsilon }^{2}\).

* Функция распределения Максвелла для относительных скоростей

\(f\left(u\right)=\frac{1}{n}\frac{\mathit{dn}}{\mathit{du}}=\frac{4}{\sqrt{\pi }}\text{exp}\left(-{u}^{2}\right){u}^{2}\).

Функция распределения Максвелла по импульсам

\(f\left(p\right)=\frac{4}{\sqrt{\pi }}{\left(\frac{1}{2\text{mkT}}\right)}^{3/2}\text{exp}\left(-\frac{{p}^{2}}{2\text{mkT}}\right){p}^{2}\mathit{dp}\).

Функция распределения молекул по энергиям теплового движения

\(f\left(K\right)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\left(\text{kT}\right)}^{{}^{-3/2}}{K}^{1/2}\text{exp}\left(-\frac{K}{\text{kT}}\right)\).

* Плотность газа \(\rho =\frac{\mathit{P\mu }}{\text{RT}}\).

Барометрическая формула \(P={P}_{0}\text{exp}\left(-\frac{\mu \text{gh}}{\text{RT}}\right)\).
Распределение Больцмана \(n={n}_{0}\text{exp}\left(-\frac{U}{\text{kT}}\right)\).
Закон Максвелл – Больцмана \(\mathit{dn}={n}_{0}A\text{exp}\left(-\frac{E}{\text{kT}}\right)\).

3. Элементы физической кинетики

* Эффективное сечение молекулы \(\sigma ={\mathit{\pi d}}^{2}\).

Среднее число столкновения молекулы за 1 с \(⟨v⟩=\sqrt{2}{\mathit{\pi d}}^{2}n⟨\upsilon ⟩\).
Средняя длина свободного пробега молекул

\(⟨\lambda ⟩=\frac{⟨\upsilon ⟩}{v}=\frac{\text{kT}}{\sqrt{2}{\mathit{\pi d}}^{2}P}=\frac{\text{kT}}{\sqrt{2}\mathit{\sigma P}}\).

* Коэффициент диффузии \(D=\frac{1}{3}\lambda ⟨\upsilon ⟩\).

Уравнение Фика для диффузии \(J=-D\frac{\mathit{dn}}{\mathit{dx}}\)или \(J=-D\text{grad}n\)
Динамическая вязкость \(\eta =\frac{1}{3}\lambda ⟨\upsilon ⟩\text{nm}\)или \(\eta =\mathit{D\rho }\).
Уравнение Ньютона для внутреннего трения (вязкости)

\({f}_{\text{тр}}=-\eta \frac{\mathit{d\upsilon }}{\mathit{dx}}\)или \({f}_{\text{тр}}=-\eta \text{grad {}\vec{\upsilon }\).

* Средняя энергия молекулы \(K=\frac{m{⟨\upsilon ⟩}^{2}}{2}=\frac{i}{2}\text{kT}\).

Уравнение Фурье для теплопроводности \(q=-\chi \frac{\mathit{dT}}{\mathit{dx}}=-\chi \text{grad}T\).
Коэффициент теплопроводности

\(\chi =\frac{1}{3}\lambda ⟨{\upsilon }_{T}⟩n\frac{i}{2}k=\frac{1}{3}\lambda ⟨{\upsilon }_{T}⟩{\mathit{\rho C}}_{V\text{уд}}={\mathit{D\rho C}}_{\text{уд}}\).

4. Первое начало термодинамики. Внутренняя энергии. Работа и теплота

* Первое начало термодинамики \(\mathit{\delta Q}=\mathit{dU}+\mathit{\delta A}\).

Внутренняя энергия одного моля идеального газа равна \(U=\frac{3}{2}\text{RT}\).
Внутренняя энергия произвольной массы газа \(U=\frac{m}{M}\frac{i}{2}\text{RT}=v\frac{i}{2}\text{RT}\).
Удельная теплоемкость \({C}_{\text{уд}}=\frac{\mathit{dQ}}{\mathit{dT}}\).
Молярная теплоемкость \({C}_{{}_{\mu }}={C}_{\text{уд}}\mu \).
Молярная теплоемкость газа при постоянном объеме \({С}_{V}=\frac{i}{2}R\).
Молярная теплоемкость газа при постоянном давлении \({С}_{p}=\frac{i+2}{2}R\).
Уравнение Майера \({C}_{P}={C}_{V}+R\)
Коэффициент Пуассона \(\gamma =\frac{{C}_{P}}{{C}_{V}}=\frac{i+2}{i}\).
Внутренняя энергия одноатомного газа \(U=\frac{m}{\mu }\frac{R}{\gamma -1}T=\frac{\text{PV}}{\gamma -1}\).
Закон Больцмана о равномерном распределении энергии\(K\text{=}\frac{i}{2}\text{kT}\text{.}\)
Работа газа при изменении его объема \(\mathit{\delta A}=\mathit{pdV}\).
Количество теплоты, сообщенное в изохорическом процессе \(Q={C}_{V}\left({T}_{2}-{T}_{1}\right)\).
Изменение внутренней энергии в изохорическом процессе \(\mathit{dU}=\mathit{\delta Q}\).
Теплоемкость и изохорическом процессе \({C}_{V}=\frac{m}{\mu }\frac{R}{\gamma -1}=\frac{i}{2}R\).
Работы в изобарическом процессе \(A=P\left({V}_{2}-{V}_{1}\right)=\frac{m}{\mu }R\left({T}_{2}-{T}_{1}\right)\).
Количество теплоты, сообщенное в изобарическом процессе

\(Q={C}_{P}\left({T}_{2}-{T}_{1}\right)=\frac{m}{\mu }\mathit{R\Delta T}\left(\frac{i}{2}+1\right)\).

* Изменение внутренней энергии в изобарическом процессе

\(\mathit{\Delta U}={C}_{V}\left({T}_{2}-{T}_{1}\right)=\frac{i}{2}\frac{m}{\mu }\mathit{R\Delta T}\).

* Теплоемкость в изобарическом процессе \({C}_{P}=\frac{m}{\mu }\frac{\mathit{\gamma R}}{\gamma -1}=\frac{m}{\mu }\frac{\mathit{dQ}}{\mathit{dT}}\).

Работа газа при изобарном расширении \(A=p\left({V}_{2}-{V}_{1})=\frac{m}{M}R\right({T}_{2}-{T}_{1})\).
Работа газа в изотермическом процессе

\(A=Q=\frac{m}{\mu }\text{RT}\text{ln}\frac{{V}_{2}}{{V}_{1}}=\frac{m}{\mu }\text{RT}\text{ln}\frac{{P}_{1}}{{P}_{2}}\).

* Уравнение адиабатического процесса (уравнение Пуассона)

\({\text{PV}}^{\gamma }=\text{const}\), \({\text{TV}}^{\gamma -1}=\text{const}\), \({T}^{\gamma }{P}^{1-\gamma }=\text{const}\).

* Работа газа при адиабатическом расширении

\(A=-\mathit{\Delta U}=\frac{m}{\mu }{C}_{V}\left({T}_{1}-{T}_{2}\right)\)

5. Круговые процссы. Тепловые машины

* Термический КПД для кругового процесса \(\eta =\frac{{Q}_{1}-{Q}_{2}}{{Q}_{1}}\).

Термический КПД цикла Карно \(\eta =\frac{{T}_{1}-{T}_{2}}{{T}_{1}}\).
Термический КПД необратимого цикла \({\eta }_{\text{необр}}=1-\frac{{T}_{2}-\mathit{\Delta T}}{{T}_{1}-\mathit{\Delta T}}\).
Работа тепловой машины \(A={Q}_{1}-{Q}_{2}\).
Изотермическое расширение цикла Карно \({A}_{1}={Q}_{1}=\frac{m}{\mu }{\text{RT}}_{1}\text{ln}\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}\).
Адиабатическое расширение цикла Карно \({A}_{2}=\frac{R}{\gamma -1}\left({T}_{1}-{T}_{2}\right)\).
Изотермическое сжатие цикла Карно \({A}_{3}=-{Q}_{3}=-\frac{m}{\mu }{\text{RT}}_{2}\text{ln}\frac{{V}_{2}}{{V}_{1}}\)
Адиабатическое сжатие цикла Карно \({A}_{4}=\frac{R}{\gamma -1}\left({T}_{1}-{T}_{2}\right)\)

6. Второе и третье начала термодинамики

Приведённая теплота Файл:Изображение1.png.

Энтропия Файл:Изображение2.png.
Равенство Клаузиуса Файл:Изображение3.pngили Файл:Изображение4.pngили Файл:Изображение5.png.
Неравенство Клаузиуса Файл:Изображение6.png, или Файл:Изображение7.pngили Файл:Изображение8.png.
Для произвольного процесса: Файл:Изображение9.png.
Математическое выражение второго начала термодинамики: Файл:Изображение10.png.
Первое и второе начала термодинамики Файл:Изображение11.png.
Изменение энтропии в изопроцессах:

изохорический процесс: Файл:Изображение12.png, т.к V₁ = V₂;
изобарический процесс: Файл:Изображение13.pngт.к. Файл:Изображение14.png;
изотермический процесс: Файл:Изображение15.png, т.к. Файл:Изображение16.png;
адиабатический процесс: Файл:Изображение17.png, т.к. Файл:Изображение18.png.

Количество теплоты Файл:Изображение19.png.
Процессы изменения агрегатного состояния вещества:

закон плавления и кристаллизации: Файл:Изображение20.png;

изменение энтропии при плавлении и кристаллизации:

\(\mathit{\Delta S}=\pm \mathit{\lambda m}/{T}_{\text{пл}};\)

* закон испарения и конденсации: Файл:Изображение21.png;

изменение энтропии при испарении и конденсации \(\mathit{\Delta S}=\pm \text{rm}/{T}_{к};\)

Внутренняя энергия системы \(U=F+\text{TS}\).
Энергетическая потеря в изолированной системе Файл:Изображение22.png.
Статистический смысл энтропии Файл:Изображение23.png
Третье начало термодинамикиФайл:Изображение24.png.

7. Термодинамические свойства реальных газов

Уравнение состояние идеального газа \(\text{PV}=\text{vRT}\).

Уравнение Ван-дер-Ваальса для реального газа

\(\left(P+\frac{{v}^{2}a}{{V}^{2}}\right)(V-\text{vb})=\text{vRT}\),

Связь критических параметров

V_x = 3b, Р_х = a/(27b²), T_x = 8a/(27Rb).

Внутренняя энергия произвольной массы реального газа

U=v(C_VT-a/V_m),

Энтальпия системы \({U}_{1}+{p}_{1}{V}_{1}={U}_{2}+{p}_{2}{V}_{2}\),

Часть III. Электростатика и постоянный ток

1. Электростатическое поле в вакууме

* Закон Кулона \(\vec{F}=\frac{1}{4{\text{πε}}_{0}}\frac{{q}_{1}{q}_{2}}{{r}^{2}}\frac{\vec{r}}{r};\)\(F=\frac{1}{4{\text{πε}}_{0}}\frac{\left\vert {q}_{1}{q}_{2}\right\vert }{{r}^{2}}\).

Закон сохранения заряда \(\sum {q}_{i}=\text{const}\).
Напряженность электростатического поля \(\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q};\)\(E=\frac{F}{q}=\frac{q}{4{\text{πε}}_{0}{r}^{2}}\).
Принцип суперпозиции \(\vec{E}=\sum {\vec{E}}_{i}\).
Результирующая напряженность электростатического поля двух зарядов \(E=\sqrt{{E}_{1}^{2}+{E}_{2}^{2}+{E}_{1}^{2}{E}_{2}^{2}\text{cos}\alpha }\).
Линейная плотность заряда \(\lambda =\mathit{dq}/\mathit{dl}\).
Поверхностная плотность заряда \(\sigma =\mathit{dq}/\mathit{dS}\).
Объемная плотность заряда \(\rho =\mathit{dq}/\mathit{dV}\).
Электрический момент диполя \(\vec{p}=q\vec{l}\).
Напряжённость поля электрического диполя \(E=\frac{p}{4{\text{πε}}_{0}{r}^{3}}\sqrt{3{\text{cos}}^{2}\phi +1}\).

2. Теорема Остроградского–Гаусса и её применение

* Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме

для одного заряда \({Ф}_{E}=\underset{S}{\oint }{E}_{n}\mathit{dS}=\frac{q}{{\epsilon }_{0}};\)
для нескольких зарядов \({Ф}_{E}=\underset{S}{\oint }{E}_{n}\mathit{dS}=\frac{1}{{\epsilon }_{0}}\sum _{i=1}^{n}{q}_{i}=\frac{1}{{\epsilon }_{0}}\underset{V}{\int }\mathit{\rho dV}\).

Теорема Гаусса в дифференциальной форме \(\text{div}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}\vec{E}=\frac{\rho }{{\epsilon }_{0}}\)или \(\vec{\nabla }\vec{E}=\frac{\rho }{{\epsilon }_{0}}\).
Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной плоскостью \(E=\sigma /2{\epsilon }_{0}\).
Напряженность поля, создаваемого двумя параллельными разноименно заряженными бесконечными плоскостями \(E=\frac{\sigma }{{\epsilon }_{0}}\).
Напряженность поля нити (цилиндра) и напряженности поля между двумя цилиндрами выражается по одной формуле \(E=\frac{\lambda }{2{\text{πε}}_{0}r}\).
Напряжённость поля между двумя цилиндрами \(E=\lambda /2{\text{πε}}_{0}r\).
Напряженность поля сферы \(E=\begin{array}{c}\lbrace 0-\text{внутри}\text{сферы}\end{array}\)
Напряженность поля, создаваемого объемным заряженным шаром

\(\Epsilon =\begin{array}{c}\lbrace \rho \frac{r}{3{\epsilon }_{0}}-\text{внутри}\text{шара}\end{array}\)

3. Потенциал и работа электростатического поля.

Связь напряженности с потенциалом

* Работа по перемещению заряда \(q\)из точки 1 в точку 2

\(\mathit{dA}=\mathit{Fdl}\text{cos}\alpha ;\)\(A=q\underset{1}{\overset{2}{\int }}\vec{E}d\vec{l}\); \({A}_{\text{12}}=\frac{\text{qq}\text{'}}{4{\text{πε}}_{0}}\left(\frac{1}{{r}_{1}}-\frac{1}{{r}_{2}}\right)\).

* Теорема о циркуляции вектора напряженности \(\vec{E}\)\(\oint \vec{E}d\vec{l}=0\).

Потенциальная энергия взаимодействия двух зарядов \(W=\frac{1}{4{\text{πε}}_{0}}\frac{\text{qq}\text{'}}{r}\).
Потенциал электростатического поля \(\phi =\frac{W}{q}=\frac{{A}_{\mathrm{\infty }}}{q}=\frac{1}{4{\text{πε}}_{0}}\frac{q}{r}\).
Потенциал системы зарядов \(\phi =\sum {\phi }_{i}\).
Связь между потенциалом и напряженностью \(\vec{E}=-\text{grad}\phi \), \(\vec{E}=-\nabla \phi \).
Потенциал поля диполя \(\phi =\frac{p}{4{\text{πε}}_{0}{\mathit{\epsilon r}}^{2}}\text{cos}\alpha \).
Потенциальная энергия диполя \(W=-\vec{p}\vec{E}=\text{pE}\text{cos}\alpha \).
Механический момент, действующий на диполь в электростатическом поле \(\vec{M}=\left\lbrack \vec{p},\vec{E}\right\rbrack \)или \(M=\text{pE}\text{cos}\alpha \).
Работа в потенциальном поле \(A=q\left({\phi }_{1}-{\phi }_{2}\right)=\text{qU}\).
Безвихревой характер электростатического поля