кинематика - можно ли упростить решение задачи?
Два автомобиля движутся по разным дорогам в одном направлении. Дороги пересекаются под углом А. Скорости движения автомобилей одинаковы. Найти минимальное расстояние между автомобилями если один находится от развилки на расстоянии L1 а второй - L2.
Я так считал - взял декартовы координаты - положил что ось X - одна из дорог. И наклонная линия пересекающая ось OX - под заданным углом А - вторая дорога. Далее не сложно - задаю математически положение каждого автомобиля в каждый момент времени, а расстояние между ними рассчитываю из проекции от их (автомобилей) положения на оси координат.
Получил такие уравнения:
L1-L2*cos A + V*t*(cos A -1) = XX
L2*sin A - V*T*sin A = YY
и тогда искомое S = sqrt (XX^2+YY^2)
Но получается решение долгим слишком как-то и еще правильного ответа не нашел - где то ошибся.
По ходу там получается квадратное уравнение - и мне надо вершину параболы - то есть минимальное расстояние найти.
Спасибо!
Личное сообщение
3361 сообщенийhttp://alexandr4784.narod.ru/
Откуда: Псков
Кто: книгоиздательство
Совсем недавно подобная задача была решена, для случая прямого угла. Надо связать инерциальную систему отсчета с одним из автомобилей и тогда минимальное расстояние между автомобилями есть перпендикуляр, опущенный из начала координат на линию движения второго автомобиля.
А если относительно земли считать через абсолютные скорости - то это как у меня в примере правильно?- хоть и не рационально?
У меня определенно не хочет нормальный ответ получаться
должен быть (L1-L2)*sqrt((1-cos A)/2)
а получается (L1-L2)*sqrt((1+cos A)/2)
или это в принципе тот же ответ???
3361 сообщенийhttp://alexandr4784.narod.ru/
Откуда: Псков
Кто: книгоиздательство
Может этот рисунок поможет
я так и считал, но у меня движение слева на право - хотя это не должно конечно влиять. И я нахожу расстояние между линией относительного движения одного автомобиля и начала координат (1 автомобиль). Возможно где -то в тригонометрии ошибка. ищу
Добавлено спустя 4 минут
угол прямой относительно движения к оси равен ведь pi/2-A/2?
Добавлено спустя 3 часа(ов) 49 минут
(L1-L2)*sqrt((1+cos A)/2) все таки более правильный мне кажется ответ - при движении автомобилей на встречу - расстояние между ними 0 - минимально.
Или нет?
отредактировал(а) rambler87: 2013-01-17 19:44 GMT
3361 сообщенийhttp://alexandr4784.narod.ru/
Откуда: Псков
Кто: книгоиздательство
Если бы начальные расстояния от перекрестка были одинаковы, тогда они бы подошли к перекрестку в одно время, но начальные расстояния разные.
это да. Я про то что у меня в решении постоянно получается 1+cosA, а должно получаться по ответам 1-cosA. Как тут быть? Если принять что ответ учебника верен, то есть в формуле: 1-cosA - но это вызывает сомнение - если у нас скажем угол 0, то получается, что минимальное расстояние между автомобилями равно 1-1=0 -, но это не верно - они будут постоянно ехать на расстоянии L1-L2 - получается в ответах ошибка или я чего-то недопонимаю
Спасибо за совет. Но все-таки правилен ли ответ (L1-L2)*sqrt((1+cos A)/2) ? Или нет?
3361 сообщенийhttp://alexandr4784.narod.ru/
Откуда: Псков
Кто: книгоиздательство
расстояние между автомобилями не \(L_1-L_2\).
\(L_1, L_2\) - это расстояние от автомобилей до перекрестка.
Для прямого угла начальное расстояние между автомобилями - гипотенуза длиной \(\sqrt{L_1^2+L_2^2}\)
Для произвольного угла надо применить теорему косинусов, имеем треугольник со сторонами \(L_1\) и \(L_2\) и угол \(\alpha\) между ними
(L1-L2)*sqrt((1-cos A)/2) - это ответ из задачник Балаша.
У меня же получается (L1-L2)*sqrt((1+cos A)/2)
то есть (L1-L2) в конечной формуле и там и там верно
aqrt - корень
Как вы думаете ответ (L1-L2)*sqrt((1+cos A)/2) - не противоречит логике? - причем этот ответ как раз не расстояние между автомобилями в каждый момент времени а минимальное расстояние между автомобилями вообще возможное при заданных L1 и L2
Я считал и через треугольники и через аналитическое задание кривых (относительно земли(выше) и относительно второго автомобиля) - в первом случае не досчитал - слишком сложно и долго, во втором случае - относительно второго автомобиля - постоянно получается (L1-L2)*sqrt((1+cos A)/2)
3361 сообщенийhttp://alexandr4784.narod.ru/
Откуда: Псков
Кто: книгоиздательство
У меня тоже получается с плюсом
Добавлено спустя 2 минут
Кстати, при нулевом угле получается правильное постоянное расстояние.
отредактировал(а) iskander: 2013-01-25 13:43 GMT
Спасибо огромное. А то я уже запарился с этой задачкой )
А вообще когда говорится о движении двух точек в такого типах задачах 90% имеет смысл сразу же переходить к относительным координатам?