Движение по окружности с изменяемым по направлению ускорением

Точка движется по окружности, причем начальная скорость равна нулю. Модуль его ускорения неизменен и равен a. Радиус окружности равен R. Какую скорость будет иметь точка, когда его радиус-вектор отклонится на t рад?

\(\begin{cases} a_{ц.с} = \frac{v^2}{R}\\ a^2 = a_{ц.с}^2 + a_\tau^2 \end{cases} \iff a^2 = \frac{v^4}{R^2} + a_\tau^2\)

 deleted

Подьзователю Fedor запрещается размещать сообщения в тематических разделах. Будут удаляться.

Причина: глупость, безграмотность.

#58662 Nikitos0101 :

Что с этим делать? У нас тангенциальное ускорение переходит в нормальное.

Не обратил внимания на «причем начальная скорость равна нулю». Значит скорость переменная: \(v=v(t)\), причём \(v(0)=0\) . Буковкой \(t\) я буду обозначать время, а отклонение (поворот) радиус-вектора буковкой \(\varphi\).

Нормальное ускорение:  \(a_n=\frac{v^2}{R}\) . Тангенциальное ускорение: \(a_t=\frac{dv}{dt}\) .

По условию,   \(a^2=a_n^2+a_t^2=const\). Отсюда

\(a^2=\frac{v^4}{R^2}+ (\frac{dv}{dt})^2\).

Получаем нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка с начальным условием \(v(0)=0\)  .

Как его решить, я не знаю. WolframAlpha говорит, что решение выражается через эллиптические интегралы.

Пускай мы нашли решение, то есть  определили вид функции   \(v(t)\).

Тогда угол поворота радиус-вектора зависит от времени вот так:

\(\varphi (t)=\int_{0}^{t}\omega (t)dt=\frac{1}{R}\int_{0}^{t}v (t)dt\)

Из этого уравнения нужно найти значение \(t\), соответствующее заданному \(\varphi\), а уж по нему значение скорости.

Такое я могу решить разве что численно.

Откуда задача?

#58664 Nikitos0101 :

Но в задаче не сказано, что есть силы компенсирующие центробежную силу. 

Не обращайте внимания на сообщения Fedor'а. Это местный дурачок.

Ну и в задаче вообще нет никаких сил. Это задача кинематическая.