Уравнение Шредингера

\(0\le{x}\le{l}\)

\(U_1=0\), при \(0\le{x}\le{l}\)

\(U=\infty\), при\( x<0, x>l\) - потенциальная яма с бесконечно высокими стенками.

Внутри потенциальной ямы гамильтониан электрона имеет вид (я не пишу скобочки над операторами)

\(H=-{\frac{\hbar^2}{2m}}\cdot{\frac{d^2}{dx^2}}\), а уравнение Шредингера запишется так \(H\Psi=E\Psi\) или

\(-{\frac{\hbar^2}{2m}}\cdot{\frac{d^2\Psi}{dx^2}}=E\Psi\) (1).

Уравнение (1) есть дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и из теории дифференциальных уравнений известно, что его решением является функция вида

\(\Psi(x)=A\sin{kx}+B\cos{kx}\), где \(k=\frac{\sqr{2mE}}{\hbar}\) - волновое число.

Для определения постоянных \(A\) и \(B\) воспользуемся граничными условиями:

1. \(\Psi(0)=0\) ---> \(A\sin{0}+B\cos{0} = B\), ---> \(B=0\)

2. \(\Psi(l)=0=A\sin{kl}\) ----> \(\sin{kl}=0\) ----> \(kl=n\pi\) ---> \(k_n=\frac{n\pi}{l}\).

Сразу получаем квантование энергии ----> \(E_n=\frac{k^2\hbar^2}{2m}=\frac{n^2\hbar^2\pi^2}{2ml^2}\), \(n=1,2,3,...\)

\(n=0, n<0\) не рассматриваем по известным причинам.

Итак, \(\Psi_n(x)=A_n\sin{\frac{nx\pi}{l}}\).

Константу \(A_n\) найдем из условия нормировки \(\int{|\Psi_n(x)|^2dx}=1\) (интегрируем от 0 до \(l\)).

Интегрирование дает \(A_n=\sqr{\frac{2}{l}}\).

Окончательно собственная волновая функция электрона, движущегося в бесконечно глубокой потенциальной яме шириной \(l\), имеет вид

\(\Psi_n=\sqr{\frac{2}{l}}{\cdot}\sin{\frac{nx\pi}{l}}\).

Теперь надо записать явно \(\Psi_2(x)\) и \(\Psi_3(x)\) и составить по ним \(|\Psi_2(x)|^2\) и \(|\Psi_3(x)|^2\).

Далее надо приравнять \(|\Psi_2(x)|^2\) и \(|\Psi_3(x)|^2\) и найти нужные значения \(x\).

А можно построить графики этих функций и рассмотреть точки их пересечения. Это легко сделать в MathCAD или MATLAB.

Можете продолжить-не сооброжу ни как