Задача по кинематике
Столкнулся с такой задачкой - по идее там наверное больше геометрические расчеты чем физические:
"Три лодки стоят в спокойной воде на одинаковом расстоянии друг от друга L. В некоторый момент времени лодки начинают плыть с постоянной по модулю скоростью V так, что в каждый момент времени одна лодка находится на курсе другой. Через сколько времени встретятся лодки и какое расстояние пройдет каждая лодка до места встречи?"
Как я понимаю геометрически их первоначальную позицию можно представить как равносторонний треугольник более никак. Поскольку ни таки должны встретиться (в одно время) то плывут они к центру этого равностороннего треугольника. Но как , по какой траектории они плывут если "в каждый момент времени одна лодка находится на курсе другой" - это какие-то куски дуг сходящихся в центре??? Но это не слишком ли сложно рассчитывать? По прямым к центру они ведь не могут двигаться - тогда слишком просто получается и ответ не совпадает, да это и противоречит условию. Помогите плиз.
Личное сообщение
3361 сообщенийhttp://alexandr4784.narod.ru/
Откуда: Псков
Кто: книгоиздательство
Когда то была подобная задача про пауков и двигались они с углов квадрата (если мне не изменяет память). Решение такой задачи есть в Википедии и на нашем форуме но надо искать. Не Владик ли её озвучивал?
Из задачника Балаша задачка.
Я нашел пока только подобные связанные с разделом Динамика - сохранение импульса. Но там другое совсем.
Но вообще по логике как понять условие "в каждый момент времени находятся друг у друга на курсе??? Если это треугольник (никакая другая фигура не подойдет) то они будут находится друг у друга на курсе только при движении по каким-то симметричным друг к другу кривым-дугам? Или я чего-то не понимаю.
Ответ должен быть 2/3*L
По логике тут не должно быть какой-то сложной геометрии?Хотя Балаш вроде как приводит многие олимпиадные задачи - но мне кажется это еще не они) {Хотя нет в другом учебнике эта задача со звездочкой идет - получается усложненная.
отредактировал(а) rambler87: 2013-01-09 15:52 GMT
Даю подсказку: движение криволинейное, но скорость постоянная. Это значит, что нет тангенцального ускорения, а есть только нормальное.
Если ни то, ни другое, ни третье не помогает, прочтите, наконец инструкцию.
Ок спасибо. Во общем так и предполагал. Надо теперь порисовать посмотреть что там получиться.
Ну начинают они свое движение из вершин равностороннего треугольника ведь.
Добавлено спустя 3 часа(ов) 13 минут
Если считать что лодки движутся по дугам описанной окружности (60 градусов дуга) (я это чисто графически представил без доказательств) - то не получается 2/3*L как в ответе. А получается pi*L/(3*sqr(3)) - ответы хоть и различаются на 0.062*L мне кажется ответ получен по какому -то другому методу.
вообще там ведь дуги описанной окружности в треугольнике лежат так я представляю?
И как доказать логически, что условия задачи в этом случае выполняются и лодки движутся всегда друг против другой? Рассмотреть попарно каждый из случаем с использованием производных, выводам уравнений касательных в каждой точке и доказательством, что эти уравнения совпадают для каждой точки траектории движения или есть более простой путь, а то с этими аналитическими уравнениями дуг очень много возни получается и легко ошибиться?
отредактировал(а) rambler87: 2013-01-09 20:31 GMT
Так как абсолютная величина лодок постоянна, а меняется только направление скорости, то ускорение (нормальное) направлено
перпендикулярно к вектору скорости. Чтобы найти величину ускорения лодок, воспользуемся тем, что за малый промежуток времени
любую траекторию материальной точки можно считать дугой окружности.
а=V2/R
где R- радиус окружности, которой можно заменить действительную траекторию лодок.
Ясно, что данный треугольник со временем будет поворачиваться и уменьшаться в размерах, оставаясь правильным.
Значит , встреча произойдёт в его центре. Для равностороннего тр-ка центр вписанной и описанной окружности совпадает и лежит
на пересечении высот,биссектрис и медиан на расстоянии 2/3 их длины от вершин тр-ка.
Ну, осталось совсем немножко.
Если ни то, ни другое, ни третье не помогает, прочтите, наконец инструкцию.
Все мне подсказали немного - я слишком усложнял все. Надо рассматривать попарно векторную сумму каждой из лодок в проекции на стороны этого треугольника. - отсюда скорость сближения равна двух лодок - 3*V/2, время сближения соответственно L*2/(3*V) ну и путь каждой ложки: V*L*2/(3*V) = 2*L/3.
А вот траектории - хоть и близки к дугам, но не дуги - какие-то спирали?
Добавлено спустя 1 минута
Да спасибо! хитрая задача. Сколько надо решать подобного чтобы руку набить
отредактировал(а) rambler87: 2013-01-09 22:03 GMT
Как это ты получил, что скорость сближения двух лодок равна 3V/2, т.е. полуторная скорость.
Запишем уравнение проекций двух лодок на прямую их соединяющую.
V=V1-V2*cos60
V - относительная скорость, V1=V2
V=V1(1-cos60)=V1(1-0,5)=0,5 V1
t=L/0,5*V1
t- время сближения.
Если ни то, ни другое, ни третье не помогает, прочтите, наконец инструкцию.
Лодки плывут навстречу друг к другу то есть как я понял допустим A плывет к B? V(сближения) =V + V*cos60
но мне пока не очень решение нравится(
https://groups.google.com/forum/?fromgroups#!msg/fido7.ru.math/-QsCKxR8bfY/K_fauH4Sn-MJ
К слову - я понимаю геометрический смысл нормального и касательного ускорений. Но у Савельева еще рассматривается нормальная скорость - это я не совсем понимаю.
То есть поскольку в любой момент времени лодки находятся напротив друг друга - можно "забыть" о нормальной составляющей ускорения и считать просто что сближаются только две лодки одна из которых пловет непосредственно к первой по углом 0 - то есть прямо на нее. а другая в сторону первой но под углом 60. Но чего-то в этих объяснениях не хватает мне кажется(
отредактировал(а) rambler87: 2013-01-10 00:37 GMT
Всё правильно ты посчитал. Просто вредно решать задачи поздно вечером. Я не на ту сторону отложил проекцию.
Да относительная скорость равна 1,5V, тогда время сближения t=L/1,5V, а путь будет Х=1,5V*t=2L/3
Скорость раскладывается на напраление и перпендикулярно для того, чтобы на неё не обращать внимания.
Если ни то, ни другое, ни третье не помогает, прочтите, наконец инструкцию.
1)А если на нужно бы было аналитическое уравнение траектории подсчитать лодки - это какие-то спирали (близки к дугам как я понимаю но не дуги) это было бы очень сложно?
Во общем в пределе сторона каждого треугольник должна быть касательной одной траектории к другой стороне как-то так.
2) По поводу "нормальной" составляющей полной скорости. В других учебниках вообще нормальная составляющая скорости не указана - как определение всегда дается, что вектор скорости (полной скорости) всегда направлен по касательной к траектории, а нормальным может быть только ускорение. То есть именно нормальное ускорение является ключевым, но Савельев использует выражение для нормальной скорости для перехода (строго по определению) к нормальному ускорению? Как -то так.
Такой например пример - точки движется по окружности с постоянной скорости (не угловой - тангенциальной). И разумеется мы сразу подумаем, что полная скорость точки равна тангенциальной (при равенстве тангенциального ускорения нулю), а вот "нормальное" ускорение (а не нормальная скорость) отлично от нуля. Мы никогда получается не думаем о существовании какой-то нормальной скорости - ее и по определению быть не может - только ускорение?
отредактировал(а) rambler87: 2013-01-10 13:02 GMT