Рассматривая криволинейное движение тела, мы увидим, что его скорость в разные моменты различна. Даже в том случае, когда модуль скорости не меняется, все же имеет место изменение направления скорости. В общем случае меняются и модуль и направление скорости.
Таким образом, при криволинейном движении скорость непрерывно изменяется, так что это движение происходит с ускорением. Для определения этого ускорения (по модулю и направлению) требуется найти изменение скорости как вектора, т. е. найти приращение модуля скорости и изменение ее направления.
Рис. 49. Изменение скорости при криволинейном движении
Пусть, например, точка, двигаясь криволинейно (рис. 49), имела в некоторый момент скорость
а через малый промежуток времени — скорость
. Приращение скорости есть разность между векторами
и
. Так как эти векторы имеют различное направление, то нужно взять их векторную разность. Приращение скорости выразится вектором
, изображаемым стороной параллелограмма с диагональю
и другой стороной
. Ускорением
называется отношение приращения скорости к промежутку времени
, за который это приращение произошло. Значит, ускорение
|
По направлению
совпадает с вектором
.
Выбирая
достаточно малым, придем к понятию мгновенного ускорения (ср. § 16); при произвольном
вектор
будет представлять среднее ускорение за промежуток времени
.
Направление ускорения при криволинейном движении не совпадает с направлением скорости, в то время как для прямолинейного движения эти направления совпадают (или противоположны). Чтобы найти направление ускорения при криволинейном движении, достаточно сопоставить направления скоростей в двух близких точках траектории. Так как скорости направлены по касательным к траектории, то по виду самой траектории можно сделать заключение, в какую сторону от траектории направлено ускорение. Действительно, так как разность скоростей
в двух близких точках траектории всегда направлена в ту сторону, куда искривляется траектория, то, значит, и ускорение всегда направлено в сторону вогнутости траектории. Например, когда шарик катится по изогнутому желобу (рис. 50), его ускорение на участках
и
направлено так, как показывают стрелки, причем это не зависит от того, катится шарик от
к
или в обратном направлении.
Рис. 50. Ускорения при криволинейном движении всегда направлены в сторону вогнутости траектории
Рис. 51. К выводу формулы для центростремительного ускорения
Рассмотрим равномерное движение точки по криволинейной траектории. Мы уже знаем, что это — ускоренное движение. Найдем ускорение. Для этого достаточно рассмотреть ускорение для частного случая равномерного движения по окружности. Возьмем два близких положения
и
движущейся точки, разделенных малым промежутком времени
(рис. 51, а). Скорости движущейся точки в
и
равны по модулю, но различны по направлению. Найдем разность этих скоростей, пользуясь правилом треугольника (рис. 51, б). Треугольники
и
подобны, как равнобедренные треугольники с равными углами при вершине. Длину стороны
, изображающей приращение скорости за промежуток времени
, можно положить равной
, где
— модуль искомого ускорения. Сходственная ей сторона
есть хорда дуги
; вследствие малости дуги длина ее хорды может быть приближенно принята равной длине дуги, т.е.
. Далее,
;
, где
— радиус траектории. Из подобия треугольников следует, что отношения сходственных сторон в них равны:
|
откуда находим модуль искомого ускорения:
(27.1)
|
Направление ускорения перпендикулярно к хорде
. Для достаточно малых промежутков времени можно считать, что касательная к дуге практически совпадает с ее хордой. Значит, ускорение можно считать направленным перпендикулярно (нормально) к касательной к траектории, т. е. по радиусу к центру окружности. Поэтому такое ускорение называют нормальным или центростремительным ускорением.
Если траектория — не окружность, а произвольная кривая линия, то в формуле (27.1) следует взять радиус окружности, ближе всего подходящей к кривой в данной точке. Направление нормального ускорения и в этом случае будет перпендикулярно к касательной к траектории в данной точке. Если при криволинейном движении ускорение постоянно по модулю и направлению, его можно найти как отношение приращения скорости к промежутку времени, за который это приращение произошло, каков бы ни был этот промежуток времени. Значит, в этом случае ускорение можно найти по формуле
(27.2)
|
аналогичной формуле (17.1) для прямолинейного движения с постоянным ускорением. Здесь
— скорость тела в начальный момент, a
— скорость в момент времени
.
Комментарии: (0)