Атомная физика (примеры решения задач)

Атомная физика

Теория Бора

1. Первый постулат Бора (условие стационарности орбит):

\(mvr=n{\cdot}\frac{h}{2\pi}\),

где \(m\) - масса электрона, \(n\) - номер орбиты (главное квантовое число \(n=1,2,3,...\)), \(v\) - скорость электрона на орбите радиуса \(r\), \(h\) - постоянная Планка.

2. Второй постулат Бора:

\(\nu=\frac{W_i-W_j}{h}\),

где \(\nu\) - частота излучения при переходе с \(i\)-й на \(j\)-ю орбиту , \(W_i\) и \(W_j\) - энергии электрона на этих орбитах.

\(3\). Частота излучения для водородоподобных ионов:

\(\nu=RcZ^2(\frac{1}{j^2}-\frac{1}{i^2})\),

где \(Z\) - порядковый номер элемента, \(c\) - скорость света, \(R \) - постоянная Ридберга, \(e\) - заряд электрона, \(\varepsilon_0\) - диэлектрическая постоянная вакуума.

4. Постоянная Ридберга

\(R=\frac{e^4m}{8\varepsilon_0^2h^3c}\).

5. Уровень энергии электрона, соответствующий различным квантовым состояниям:

\(E_n=-\frac{e^4mZ^2}{8n^2h^2\varepsilon_0^2}\) дж = \(-\frac{e^3mZ^2}{8n^2h^2\varepsilon_0^2}\) эв = \(-\frac{13.60Z^2}{n^2}\) эв.

Примеры решения задач.

Задача 1.

Определить радиус \(a_0\) первой боровской орбиты и скорость \(v\) электрона на ней. Какова напряженность поля ядра на первой орбите?

Решение задачи.

Найти: \(a_0\), \(v_0\), \(E_0\)

Дано: \(n=1\)

Свяжем ИСО с ядром атома (ядро в нашей ИСО будет неподвижным).

Между ядром и электроном действует Кулоновская сила, которая и является центростремительной силой:

\(\frac{Ze^2}{4\pi{\varepsilon_0}r^2}=\frac{mv^2}{r}\) откуда

\(\frac{Ze^2}{4\pi{\varepsilon_0}r}=mv^2\) (1).

Согласно первому постулату Бора \(mvr=n{\cdot}\frac{h}{2\pi}\), откуда получим \(mv^2=n^2{\cdot}\frac{h^2}{4\pi^2r^^2m}\).

Подставляя это значение в (1) получим:

\(\frac{Ze^2}{4\pi{\varepsilon_0}r}=\frac{n^2h^2}{4\pi^2r^^2m}\), откуда легко выражается

\(r=\frac{{\varepsilon_0}n^2h^2}{\pi{Z}e^2m}\). (2)

Полагая в (2) \(n=1\) получим

\(a_0=\frac{{\varepsilon_0}1^2h^2}{\pi{Z}e^2m}=0,53{\cdot}10^{-10}\) м.

Выражение для скорости электрона на орбите можем получить из первого постулата Бора

\(v=\frac{nh}{2\pi{rm}}\).

Подставляя сюда значение радиуса из (2), получим

\(v=\frac{Ze^2}{2{\varepsilon_0}nh}\) (3).

Полагая здесь \(n=1\), получим \(v_0=2,183{\cdot}10^6\) м/с.

Напряженность электростатического поля ядра (точечного заряда) задается формулой

\(E=\frac{e}{4\pi{\varepsilon_0}r^2}\) (4).

Полагая здесь \(r=a_0\), получим напряженность поля на первой боровской орбите

\(E_0=\frac{e}{4\pi{\varepsilon_0}a_0^2}=5,13{\cdot}10^{11}\) в/м.

Задача 2.

Определить, во сколько раз увеличится радиус орбиты электрона у атома водорода, находящегося в основном состоянии, при возбуждении его квантом с энергией 12,09 эв.

Решение.

Найти: \(n\)

Дано:

\(n_1=1\),

\(\Delta{E}=12.09\) эв.

Примем за ИСО - ядро атома.

В задаче 1 мы получили выражение для радиуса орбиты электрона в зависимости от главного квантового числа

\(r=\frac{{\varepsilon_0}h^2}{\pi{Z}e^2m}{\cdot}n^2\).

Отсюда мы видим, что при переходе из основного состояния \(n_1=1\) в возбужденное \(n=n_2\) радиус орбиты электрона возрастает в \(n_2^2\) раз.

Определим теперь главное квантовое число, соответствующее переходу атома в возбужденное состояние.

\(\Delta{E}=E_2-E_1=13.6(1-\frac{1}{n_2^2})\).

Отсюда получаем \(n_2^2=9\). Радиус орбиты электрона возрастет в 9 раз.

Задача 3.

Атомарный водород находится при давлении 10^-2 мм.рт.ст. и температуре 300 К. Определить значение полной энергии электрона в атоме, при которой радиус его орбиты равен половине среднего расстояния между центрами атомов в данных условиях.

Решение задачи.

Найти: \(E_n\)

Дано:

\(p=133.3{\cdot}10^{-2}\) н/м²,

\(T=300\) K.

Свяжем ИСО с сосудом в котором находится водород.

Из формул для энергии электрона и его радиуса

\(E_n=-\frac{e^4mZ^2}{8n^2h^2\varepsilon_0^2}\)

и

\(r=\frac{{\varepsilon_0}n^2h^2}{\pi{Z}e^2m}\)

получим формулу, выражающую энергию через радиус орбиты

\(E_n=-\frac{e^2Z}{8{\pi}{\varepsilon_0}r}\).

Пусть расстояние между атомами \(D\), тогда \(r=\frac{D}{2}\) и

\(E_n=-\frac{e^2Z}{4{\pi}{\varepsilon_0}D}\).

Расстояние между атомами определим из уравнения Клапейрона-Менделеева \(pV=RT\) или \(pV=NkT\),

но \(V=ND^3\), откуда

\(D=\sqrt[3]{\frac{kT}{p}}\).

Тогда

\(E_n=-\frac{e^2Z}{4{\pi}{\varepsilon_0}}{\cdot}\sqrt[3]{\frac{p}{kT}}\).

\(E_n=-1.58{\cdot}10^{-21}\) дж =\(-9.58{\cdot}10^{-3}\) эв.