Механические колебания, динамика (примеры решения задач)

Механические колебания

Основные формулы

Всякое колебательное движение, в том числе и гармоническое, характеризуется амплитудой \(A\), периодом колебаний \(T\), частотой \(\nu\), циклической (круговой) частотой \(\omega\) и фазой колебаний \(\varphi\).

Амплитудой \(A\) называют наибольшее значение колеблющейся величины (максимальное смещение от положения равновесия).

Число полных колебаний в единицу времени называют частотой:

\(\nu=\frac{n}{t}\).

Циклическая (круговая) частота - это число полных колебаний в течении \(2\pi\) с:

\(\omega=\frac{2\pi{n}}{t}=2\pi{\nu}\).

Периодом называю время, в течении которого совершается одно полное колебание:

\(T=\frac{t}{n}=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{1}{\nu}\).

Смещение, скорость и ускорение при гармоническом колебании определяются уравнениями

\(x=A\sin(\omega{t}+\varphi_0)\),

\(v=\dot x=A\omega\cos(\omega{t}+\varphi_0)\),

\(a=\ddot x=-A\omega^2\sin(\omega{t}+\varphi_0)=-\omega^2x\).

Здесь \((\omega{t}+\varphi_0)\) - фаза колебаний, а \(\varphi_0\) - начальная фаза.

Сила, действующая на тело при свободном гармоническом колебании (квазиупругая сила), всегда пропорциональна смещению и направлена в сторону, противоположную смещению:

\(F=ma=-m{\omega_0}^2x=-kx\)

где \(k=m{\omega_0}^2\) - коэффициент квазиупругой силы, измеряемый силой, вызывающей смещение \(x\), равное единице.

При отсутствии сопротивления среды циклическая частота \(\omega_0\) свободных гармонических колебаний, называемых собственной циклической частотой и период \(T\) равны:

\(\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}\), \(T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\)

Период колебания математического маятника длиной \(l\) равен

\(T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\).

Период колебаний физического маятника

\(T=2\pi\sqrt{\frac{I}{mgd}}\),

где \(I\) - момент инерции маятника относительно оси качаний, \(d\) - расстояние от оси его до центра тяжести.

Полная энергия тела, совершающего гармонические колебания, постоянна и равна

\(W=\frac{m\omega^2A^2}{2}\).

Уравнение смещения в затухающих колебаниях при наличии силы сопротивления \(F_s\) пропорциональной скорости (\(F_s=-rv\), где \(r\) - коэффициент сопротивления) имеет вид:

\(x=A_0e^{-\beta{t}}\sin(\omega{t}+\varphi_0)\).

Здесь \(A_0e^{-\beta{t}}\) - убывающая по времени амплитуда смещения; \(\beta\) - коэффициент затухания; \(\omega\) - циклическая частота; \(A_0,\varphi_0\) - начальные амплитуда и фаза, определяются из начальных условий.

Величины \(\beta\) и \(\omega\) выражаются через параметры системы \(r,m,k\) формулами:

\(\beta=\frac{r}{2m}\),

\(\omega=\sqrt{{\omega_0}^2-\beta^2}=\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{r^2}{4m^2}}\).

Логарифмический декремент затухания

\(\lambda=\ln(\frac{A_1}{A_2})=\beta{T}\),

где \(A_1,A_2\) - амплитуды двух последовательных колебаний.

Амплитуда вынужденных колебаний

\(A=\frac{h}{\sqrt{({\omega_0}^2-\omega^2)^2+4\beta^2\omega^2}}\),

где \(h\) - есть отношение амплитуды вынуждающей силы к массе тела; \(\omega_0\) - собственная циклическая частота; \(\omega\) - циклическая частота вынуждающей силы.

Резонансная циклическая частота равна

\(\omega_r=\sqrt{{\omega_0}^2-2\beta^2}\).

Динамика колебательного движения

Задача 1.

Шарик массой 20 г колеблется с периодом 2 с. В начальный момент времени шарик обладал энергией 0,01 Дж и находился от положения равновесия на расстоянии 2,5 см. Составить уравнение гармонического колебания и закон изменения возвращающей силы с течением времени.

Решение.

Запишем краткое условие задачи.

Найти: \(x=x(t)\), \(F=F(t)\)

Дано:

\(m=0,02\) кг,

\(T=2\) с,

\(W=0.01\) Дж,

\(x_1=0.025\) м.

Выберем в качестве ИСО "Лабораторию" - помещение в котором мы наблюдаем колебание шарика. Задачи часто решают в лабораторной ИСО.

Будем искать \(x\) в виде

\(x=A\cos{(\omega{t}+\varphi_0)}\). (1)

Так как период колебаний известен, то \(\omega=\frac{2\pi}{T}=\pi\) c^-1.

Амплитуду колебаний найдем из выражения для энергии \(W=\frac{m\omega^2{A^2}}{2}\), откуда

\(A={\frac{1}{\omega}}\cdot{\sqrt{\frac{2W}{m}}}=0.32\) м.

Воспользуемся теперь условием начального момента \(t=0\)

\(x_1=A\cos{\varphi_0}\).

\(\cos{\varphi_0}=\frac{x_1}{A}=0.78\), откуда \(\varphi_0=0.3\pi=51^{\circ}\)

Подставляя найденные значения в (1), получим:

\(x=0,32\cos{\pi(t+0.3)}\).

Если на тело массы \(m\) действует квазиупругая сила, то тело совершает гармонические колебания с циклической частотой

\(\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\), откуда \(k=\omega^2m\)

Тогда \(F=-kx=-0.063\cos{\pi(t+0.3)}\).

Задача 2.

Тело, неподвижно висящее на цилиндрической пружине, растягивает её на \(x_0=5\) см. Затем тело было смещено из положения равновесия по вертикали и отпущено, в результате чего оно стало совершать колебания. Найти их период.

Решение.

Запишем краткое условие задачи.

Найти: \(T\)

Дано: \(x_0=0.05\) м.

Выберем в качестве ИСО точку подвеса пружины, ось OX направим вертикально вниз.

На тело действуют две силы: сила тяжести \(F_t=mg\) и сила упругости пружины \(F_u=-kx\).

Когда тело покоится, равнодействующая приложенных к нему сил равна нулю: \(mg-kx_0=0\).

Отсюда можем сразу найти коэффициент жесткости пружины: \(k=\frac{mg}{x_0}\).

Пусть теперь тело смещено от положения равновесия на \(x'\) и пружина растянулась на величину \(x'+x_0\). Равнодействующая сил в этом случае есть

\(F=mg-k(x'+x_0)=mg-kx'-kx_0=-kx'\).

Мы видим, что и при наличии силы тяжести тело будет совершать гармонические колебания, период которых можно определить по формуле

\(T={2\pi}\sqrt{\frac{m}{k}}={2\pi}\sqrt{\frac{x_0}{g}}=0.45\) c.

Задача 3.

Ареометр массы \(m=55\) г, плавающий в растворе серной кислоты, указывает, что плотность жидкости \(\rho=1.27\) г/см³. Если прибор сместить из положения его равновесия немного по вертикали и отпустить, он начнет колебаться. Считая колебания незатухающими, определить их период, если радиус цилиндрической трубки ареометра, в которой заключена его шкала, равен \(r=0.30\) см.

Решение.

Запишем краткое условие задачи.

Найти: \(T\)

Дано:

\(m=55\) г.

\(\rho=1.27\) г/см³.

\(r=0.30\) см.

По правила надо было бы перевести данные величины в СИ, но поскольку мы ищем период, который измеряется в секундах, мы этого делать не будем, хотя это и не очень правильно.

Выберем в качестве ИСО сосуд с кислотой, т.е. в нашей задаче сосуд и кислота неподвижны. Ось \(Ox\) направим вниз.

На погруженный в жидкость ареометр действуют две силы: сила тяжести \(mg\) и выталкивающая, архимедова, сила \(F_A\), равная весу жидкости, вытесненной телом:

\(F_A=P=m_kg={\rho}Vg\), (1)

где \(V\) - объем вытесненной жидкости, равный объему погруженной в кислоту части ареометра.

Если ареометр находится в равновесии, то приложенные к нему силы уравновешены.

\(mg-{\rho}gV=0\).

Сместим ареометр из положения равновесия на величину \(x\) вниз. В силу изменения объема погруженной в жидкость нижней части ареометра изменится и архимедова сила. На ареометр будет действовать равнодействующая сила, направленная вниз:

\(F=mg-{\rho}g(V+\Delta{V})\). (2)

Здесь \(\Delta{V}={\pi}r^2x\) - изменение объема погруженной части прибора. Подставляя в (2) это значение и учитывая (1), получим:

\(F=-{\pi}r^2{\rho}gx=-kx\),

где \(k={\pi}r^2{\rho}g\) - постоянная величина. мы видим, что на ареометр действует сила, пропорциональная смещению, взятому с обратным знаком, т.е. квазиупругая сила. Следовательно, он совершает гармонические колебания, период которых может быть найден по формуле

\(T=2\pi{\sqrt{\frac{m}{k}}}\)

или

\(T=2\pi{\sqrt{\frac{m}{{\pi}r^2{\rho}g}}}=2,5\) с.