Механические колебания (примеры решения задач)

Механические колебания

Кинематика колебательного движения

Задача 1.

Материальная точка совершает гармонические колебания с частотой \(\nu\) и амплитудой \(A\). Определить средние значения скорости \(\bar V\) и ускорения \(\bar a\) точки на пути от её крайнего положения до положения равновесия, а также найти максимальные значения этих величин: \(V_{max}\) и \(a_{max}\).

Решение.

Запишем краткое условие задачи.

Найти: \(\bar V\), \(\bar a\), \(V_{max}\), \(a_{max}\)

Дано: \(\nu\), \(A\)

Будем решать задачу в инерциальной системе отсчета (ИСО) связанной с точкой, задающей положение равновесия колеблющейся системы.

Из кинематики мы знаем, что средняя скорость есть отношение пройденного пути ко времени прохождения этого пути:

\(\bar V=\frac{\Delta{l}}{\Delta{t}}\). (1)

В нашем случае \(\Delta{l}=A\) - путь от положения равновесия до максимального отклонения, а \(\Delta{t}=\frac{T}{4}\) - четвертая часть перида колебания. Подставляя в (1) получим:

\(\bar V=\frac{4A}{T}=4A\nu\). (2)

Полагая в формуле \(V=\dot x=A\omega\cos(\omega{t}+\varphi_0)\)

\(\cos(\omega{t}+\varphi_0)=1\), найдем максимальную скорость:

\(V_{max}=\omega{A}=2\pi{\nu}{A}\). (3)

Среднее ускорение есть

\(\bar a=\frac{\delta{V}}{\Delta{t}}\), (4)

где \(\Delta{V}=V-V_0\). В нашем случае начальная скорость \(V_0=0\), а конечная скорость \(V=V_{max}=2\pi{\nu}{A}\), \(\Delta{t}=\frac{T}{4}\). Подставляя в (4) получим:

\(\bar a=\frac{4\omega{A}}{T}=8\pi{\nu^2}A\). (5)

Полагая в формуле \(a=\ddot x=-A\omega^2\sin(\omega{t}+\varphi_0)\)

\(\sin(\omega{t}+\varphi_0)=1\), найдем максимальное ускорение:

\(a_{max}={\omega^2}A=4{\pi^2}{\nu^2}A\).

Задача 2.

Материальная точка совершает гармонические колебания с частотой \(\nu=1\)Гц , в момент времени \(t=0\) проходит положение определяемое координатой \(X=5\) cм, со скоростью \(V=15\) м\с, Определить амплитуду колебаний \(A\).

Решение.

Запишем условие задачи кратко.

Найти: \(A\)

Дано: \(\nu=1\)Гц, \(t=0\), \(X=0,05\) м, \(V=15\) м\с.

Как и в задаче 1 будем решать задачу в инерциальной системе отсчета (ИСО) связанной с точкой, задающей положение равновесия колеблющейся системы.

В разделе "Механические колебания" http://sfiz.ru/page.php?al=mexanicheskie_kolebanija приведена формула гармонического колебания

\(x=A\sin(\omega{t}+\varphi_0)\), где \(\omega=2\pi{\nu}\)

При \(t=0\) \(x=X\) и тогда

\(X=A\sin{\varphi_0}\) (1)

В том же разделе есть формула \(v=\dot x=A\omega\cos(\omega{t}+\varphi_0)\) и при \(t=0\) \(V=15\) м/c и тогда

\(V=A\omega\cos{\varphi_0}\) (2)

Поделив (1) на (2) получим

\(\tan{\varphi_0}=\frac{2\pi{\nu}X}{V}=0.0209\), откуда \(\varphi_0=1.2^0=0.021\) рад.

Подставляя этот угол в (1) получим искомое значение \(A\)

\(A=\frac{X}{\sin{\varphi_0}}\approx2.38\) м.

Задача 3.

Грузик на пружине совершает гармонические колебания описываемые уравнением \(x=0.05\cos(\frac{\pi}{3}\cdot{t})\)м. Какой путь пройдет грузик за 20с от начала движения?

Решение.

Найти:

\(S\)

Дано:

\(x=0.05\cos(\frac{\pi}{3}\cdot{t})\)м;

\(t=20\)с.

Свяжем ИСО с точкой закрепления пружины.

Из кинематики мы знаем, что пройденный путь есть \(S=\int{{\dot x}dt}\).

В нашем случае \(\dot x=-0.05\frac{\pi}{3}\sin(\frac{\pi}{3}\cdot{t})\), тогда

\(S=\int_0^{20}{{\dot x}dt}=-0.05\frac{\pi}{3}\int_0^{20}\sin(\frac{\pi}{3}\cdot{t})dt=0.075\)м.

Задача 4.

Найти зависимость скорости гармонического колебания от смещения.

Решение.

Найти: \(v=f(x)\)

Дано: \(x=x_0\sin(\omega{t}+\varphi_0)\)

Задача чисто математическая, ИСО задавать не будем.

\(x=x_0\sin(\omega{t}+\varphi_0)\), (1)

берем первую производную

\(v=\dot x=x_0\omega\cos(\omega{t}+\varphi_0)\) или

\(\frac{v}{\omega}=x_0\cos(\omega{t}+\varphi_0)\) (2)

Возводим (1) и (2) в квадрат и складываем

\(x^2+\frac{v^2}{\omega^2}=x_0^2\), откуда

\(v={\omega}\sqrt{x_0^2-x^2}\)

Задача 5.

Найти зависимость ускорения гармонического колебания от смещения.

Решение.

Найти: \(a=f(v)\)

Дано: \(x=x_0\sin(\omega{t}+\varphi_0)\)

Задача чисто математическая, ИСО задавать не будем.

Берем первую и вторую производные от \(x=x_0\sin(\omega{t}+\varphi_0)\)

\(v=x_0\omega\cos(\omega{t}+\varphi_0)\)

\(a=-x_0\omega^2\sin(\omega{t}+\varphi_0)\)

Перепишем полученные равенства в виде

\(\frac{v}{\omega}=x_0\cos(\omega{t}+\varphi_0)\) (1)

\(\frac{a}{\omega^2}=-x_0\sin(\omega{t}+\varphi_0)\) (2)

Возводим (1) и (2) в квадрат и складываем

\(\frac{v^2}{\omega^2}+\frac{a^2}{\omega^4}=x_0^2\) или

\(v^2+\frac{a^2}{\omega^2}=x_0^2\omega^4\)

Полагая \(x_0^2\omega^4=v_0^2\) получим

\(a=-{\omega}\sqrt{v_0^2-v^2}\)