Задача про колесо.

drobyshev, необходимо или нет знать каким моментом обладает точечный груз? В каком положении неваляшка оторвется от поверхности?

#75390 Бабу :

#75360 Бабу :

Задачу можно понять еще и так: груз на невесомом ободе закреплен таким образом что его ЦМ находится на ободе, а часть груза выступает за габариты обруча, словно он катится по поверхности горизонтального рельса.

 

обычно размерами грузов пренебрегают. Но какая форма груза, его местоположение, отношение масс более выгодны для подскока обода чем  точка массой

М на окружности массой ноль? Если на самом деле и этот самый выгодный тоже спорный вариант.

Думаю ни при каком варианте крепления грузика на ободе, при условии что обод раскручивался только под действием силы тяжести, груз не сможет проворачивать обод вокруг своей оси быстрее чем будет падать с ускорением свободного падения. Чтобы подпрыгнуть, как я полагаю, необходимо приложить дополнительное усилие для увеличения скорости вращения.

Конечно колесо не подпрыгнет никогда если будет двигаться только под децствием силы тяжести. Необходимо дополнительное усилие которое раскручивало бы колесо. Например попутный ветер или небольшой уклон которым можно пренебречь при расчете фазы прыжка, но который бы при каждом обороте увеличивал бы скорость колеса. В любом другом случае оно не может подпрыгнуть. Ему не даст момент импульса который возрастает при опускании груза и возрастает при поднимании. 

#75396 Бабу :

#75138 zhyks :

Есть разные ответы. Но он вообще-то может отскочить от поверхности? Хотя бы при невесомом ободе. 

«Ответ один — для отрыва масса груза должна превышать массу обода более чем в тринадцать раз.»

drobyshev, а невесомый обруч с грузом отскочит или нет? Отношение m/V= x будет равно нулю, что делать с уравнением третьей степени?

1. Да, подскочит. Повернувшись на 90 градусов.

2. Отношение m/M может быть совершенно любым, по усмотрению экспериментатора. А уравнение определяет критическое отношение масс, при котором начинает проявляться отрыв.

#75392 drobyshev :

Ответ один — для отрыва масса груза должна превышать массу обода более чем в тринадцать раз.

https://studizba.com/files/teoreticheskaya-mehanika/book/217691-e.s.-pjatnickij-n.m.-truhan-ju.i..html

Задачу решил, но выкладывать неохота, много математики.

Да. Условие то что надо. Задача об этом. Интересно что требуется доказать готовый ответ, а не найти его. Возможны некоторые допущения или упрощения.

Интересно какова сама идея решения? 

/

Что касается доступного ИИ в гугле и яндексе. Вот напечатал условие.

"«к однородному круговому обручу массой М который может катиться без проскальзывания по горизонтальной плоскости, жестко прикреплена точечная масса m. В начальный момент обруч покоится и масса занимает наивысшее положение, а затем пренебрежимо малый импульс вывел систему из положения равновесия. Показать, что при движении обруч подпрыгнет только в том случае, когда отношение масс больше или равно 13.»"

Так ИИ в гугле и яндексе без труда решает с 13. Но и с 12 то же самое. То есть не видит однозначного конкретного решения.

#75406 Цинник :

Не подскочит. Тут явно нарушение какого то закона сохранения.

Одновременно с подскоком обнулится сила трения. И подскок превращается в обычное проскальзывание. А что является причиной проскальзывания, то ли недостаточный коэффициент трения, то ли недостаточная сила реакции опоры — неизвестно. 

Вот не совсем удачная, но в принципе выполнимая попытка замены силы трения на силу натяжения длинной нити. И тогда подскок реализуется при условиях для него.

#75408 zhyks :

#75406 Цинник :

Не подскочит. Тут явно нарушение какого то закона сохранения.

Одновременно с подскоком обнулится сила трения. И подскок превращается в обычное проскальзывание. А что является причиной проскальзывания, то ли недостаточный коэффициент трения, то ли недостаточная сила реакции опоры — неизвестно. 

Вот не совсем удачная, но в принципе выполнимая попытка замены силы трения на силу натяжения длинной нити. И тогда подскок реализуется при условиях для него.

Откуда может быть подскок если энергия потенциальная и кинетическая не изменились в сумме? Будет зеркальный процесс с убыванием кинетической энергии в потенциальную. Если при опускании подскока не может быть, то откуда он возмется при перекатывании? Мне интересно посмотреть решение этого Ишачего Интелекта.

Вот что гугловский Ишачий Интелект рассказал.

http://Для того чтобы обруч подпрыгнул, сила реакции опоры $N$ в какой-то момент движения должна стать равной нулю (или меньше нуля). Это происходит из-за центробежной силы, возникающей при движении точечной массы $m$, которая при определенных углах направлена вверх и «тянет» за собой обруч. ## 1. Кинематика и закон сохранения энергии Пусть $\phi$ — угол отклонения точечной массы от верхней точки (начальное положение $\phi = 0$). Скорость центра обруча $v = R\dot{\phi}$. Скорость точечной массы $m$ в лабораторной системе складывается из скорости центра и вращательной скорости: $v_m^2 = (R\dot{\phi} + R\dot{\phi}\cos\phi)^2 + (-R\dot{\phi}\sin\phi)^2 = 2R^2\dot{\phi}^2(1 + \cos\phi)$. Запишем закон сохранения энергии (энергия в начальной верхней точке переходит в кинетическую и потенциальную): $$m g R (1 + \cos\phi) + \frac{1}{2} (M R^2 + M R^2) \dot{\phi}^2 + \frac{1}{2} m v_m^2 = 2 m g R$$ Здесь $M R^2 + M R^2 = 2MR^2$ — кинетическая энергия обруча (поступательная + вращательная). Подставляя $v_m^2$, получаем: $$(M + m(1 + \cos\phi)) R^2 \dot{\phi}^2 = m g R (1 — \cos\phi)$$ Откуда квадрат угловой скорости: $$\dot{\phi}^2 = \frac{m g (1 — \cos\phi)}{R(M + m(1 + \cos\phi))}$$ ## 2. Уравнение движения и реакция опоры Условие отрыва $N = 0$. Уравнение движения всей системы по вертикали: $$(M+m)\ddot{y}_{cm} = N — (M+m)g$$ Вертикальная координата центра масс: $y_{cm} = \frac{M R + m(R + R\cos\phi)}{M + m}$. Вторая производная: $(M+m)\ddot{y}_{cm} = -m R (\dot{\phi}^2 \cos\phi + \ddot{\phi} \sin\phi)$. Следовательно: $$N = (M+m)g — m R (\dot{\phi}^2 \cos\phi + \ddot{\phi} \sin\phi)$$ ## 3. Нахождение критического отношения масс Дифференцируя уравнение энергии по времени, находим $\ddot{\phi}$. Подставив $\dot{\phi}^2$ и $\ddot{\phi}$ в выражение для $N$, получим функцию $N(\cos\phi, \frac{m}{M})$. Минимум этой функции достигается в нижней точке ($\phi = \pi$, $\cos\phi = -1$). Однако в нижней точке $\dot{\phi}^2$ максимально, но центробежная сила направлена вниз. Подскок возможен в области, где груз движется вверх после прохождения нижней точки или в промежуточных положениях. Анализ выражения $N(\phi)$ показывает, что для отрыва необходимо, чтобы $N \leq 0$. При исследовании функции на экстремум (подставляя $x = \cos\phi$), критическое условие для отношения масс $k = \frac{m}{M}$ примет вид: $$\frac{m}{M} \geq 13$$ ## ✅ Ответ Обруч подпрыгнет, если отношение прикрепленной массы к массе обруча составляет $m/M \geq 13$. Интересуют ли вас другие задачи на динамику твердого тела или расчеты с использованием метода Лагранжа? import sympy as sp # Определение переменныхM, m, g, R, phi = sp.symbols('M m g R phi')phi_dot = sp.Function('phi')(sp.symbols('t')).diff(sp.symbols('t')) # Кинетическая энергия T# Скорость центра обруча v = R * phi_dot# Скорость точечной массы (в системе отсчета центра обруча):# x_m = R * phi + R * sin(phi)# y_m = R + R * cos(phi)# v_m_sq = (R*phi_dot + R*cos(phi)*phi_dot)**2 + (-R*sin(phi)*phi_dot)**2# v_m_sq = R**2 * phi_dot**2 * (1 + 2*cos(phi) + cos(phi)**2 + sin(phi)**2) = 2 * R**2 * phi_dot**2 * (1 + cos(phi)) T_hoop = (1/2) * M * (R*phi_dot)**2 + (1/2) * (M * R**2) * phi_dot**2 # Поступательная + вращательнаяT_m = (1/2) * m * (2 * R**2 * phi_dot**2 * (1 + sp.cos(sp.symbols('phi'))))T = T_hoop + T_m # Потенциальная энергия U (отсчет от уровня земли)# Начальная точка m вверху: phi = 0U = m * g * R * (1 + sp.cos(sp.symbols('phi'))) # Закон сохранения энергии: T + U = E_total# В начальный момент phi = 0, phi_dot = 0E0 = m * g * R * 2# (M * R**2 + m * R**2 * (1 + cos(phi))) * phi_dot**2 + m * g * R * (1 + cos(phi)) = 2 * m * g * R# (M + m * (1 + cos(phi))) * R**2 * phi_dot**2 = m * g * R * (1 — cos(phi)) # Выражаем квадрат угловой скорости omega^2 (phi_dot^2)phi_val = sp.symbols('phi_val')omega_sq = (m * g * (1 — sp.cos(phi_val))) / (R * (M + m * (1 + sp.cos(phi_val)))) # Условие отрыва: нормальная реакция опоры N <= 0# Уравнение движения центра масс по вертикали:# (M + m) * [***************] = N — (M + m)g# Проще рассмотреть силу N через ускорение центра масс всей системы# y_system = (M * R + m * (R + R * cos(phi))) / (M + m)# (M + m) * y_system = M*R + m*R + m*R*cos(phi)# (M + m) * y_system_dot = -m*R*sin(phi)*phi_dot# (M + m) * [*******************] = -m*R*(cos(phi)*phi_dot**2 + sin(phi)*[**************]) # Дифференцируем уравнение энергии для поиска [**************]# (M + m + m*cos(phi))*phi_dot^2 = (m*g/R)*(1 — cos(phi))# Дифф по t:# -m*sin(phi)*phi_dot^3 + 2*(M + m + m*cos(phi))*phi_dot*[**************] = (m*g/R)*sin(phi)*phi_dot# 2*(M + m + m*cos(phi))*[**************] = (m*g/R)*sin(phi) + m*sin(phi)*phi_dot^2 [**************] = (sp.sin(phi_val) * (m*g/R + m*omega_sq)) / (2 * (M + m + m*sp.cos(phi_val))) # Сила реакции N:# N = (M + m)g + (M + m)*[*******************]# N = (M + m)g — m*R*(cos(phi)*phi_dot**2 + sin(phi)*[**************]) N = (M + m)*g — m*R*(sp.cos(phi_val)*omega_sq + sp.sin(phi_val)*[**************]) # Нам нужно найти m/M, при котором N может стать <= 0# Пусть k = m/M. Тогда M = m/k.k = sp.symbols('k')N_sub = N.subs(M, m/k)# m сократится, так как g и R размерные.N_norm = N_sub / (m * g) # Безразмерная реакция опоры # Исследуем минимум N_norm по phi_val для разных k# N_norm должна быть <= 0 для какого-то phi_val.# Это эквивалентно тому, что min(N_norm) <= 0. print(sp.simplify(N_norm))

Нашел я ошибку у этого гугловсеого ИИ. Он неправильно считает вращательную кинетическую энергию. Надо сначала найти центр масс и посчитать момент инерции, а потом умножать на квадрат угловой скорости и делить на 2. А он считает только для колеса без груза. Как будто груз просто опирается, а неизакреплен жестко за колесо. Отсюда и ошибка идет. От недобора энергии вращения в нижней точке.

#75417   zhyks

для начала разобраться бы с частным случаем. Масса обруча ноль. Масса груза М — любая больше нуля. Вот рисунок. Если синяя нить во время первого полуоборота все время натянута, пусть незначительно, то все, невесомый обруч все время прижат к поверхности и нет отскока. (обруч катится из положения равновесия. На рисунке три разные положения груза)

Если увеличение массы груза приведет к увеличению угловой скорости вращения груза вокруг своей оси, то вполне возможен отрыв обруча. Остается выяснить возможно ли вообще появление такого углового ускорения чтобы при развороте груза рядом стоящая точка обруча с точкой опоры падая не успела коснуться поверхности.

#75418 Бабу :

#75417   zhyks

для начала разобраться бы с частным случаем. Масса обруча ноль. Масса груза М — любая больше нуля. Вот рисунок. Если синяя нить во время первого полуоборота все время натянута, пусть незначительно, то все, невесомый обруч все время прижат к поверхности и нет отскока. (обруч катится из положения равновесия. На рисунке три разные положения груза)

 

Если увеличение массы груза приведет к увеличению угловой скорости вращения груза вокруг своей оси, то вполне возможен отрыв обруча. Остается выяснить возможно ли вообще появление такого углового ускорения чтобы при развороте груза рядом стоящая точка обруча с точкой опоры падая не успела коснуться поверхности.

При нулевой массе обода масса груза не важна. Падают одинаково. Другое дело если посмотреть обода разного радиуса. Что-то поменятся?  Надеюсь условие возможного отрыва не зависит от радиуса обода. По крайней мере всевозможные ответы не включают радиус. 

#75433 zhyks :

При нулевой массе обруча центр массы соответствует центру груза массы М. Я так и говорю. 

Тут вопрос — где ошибка, что именно при невесомом обруче будет подскок. 

поль ИИ.

КОЛЕСО

В том то и дело что если у массы нет размера, то вся потенциальная переходит в кинетическую прступательную, а потом в энергию деформации и должно колесо то ли подскочить то ли покатиться. Без момента инерции оно может после прохождения нулевой высоты вращаьься в любую сторону. Но если у колеса будет хоть какой то момент инерции, то получается что вся энергия в нижней точке переходит в кинеьическую энергию вращения. Энергией деформации из за отсутствия данных пренебрегаем. И тогда оно не может подскочить, поскольку как раз энергря вращения и будет поднимать груз.

#75448 Бабу :

Если от прибавления массы груза ничего не зависит, то не будет зависимости от отношения массы колеса и груза. У невесомого обруча масса константа, следовательно изменение массы груза ни на что не влияет. Колесо ни при каких условиях, при которых колесо приводится в движение только силой тяжести, не станет подскакивать.

 

Да не может лно подскочить при таких условиях. При опускании колеса не может потому что груз прижимает колесо к плоскости. При поднимании потому что вращение колеса как раз и отталкивает груз от плоскости. Без добавления колесу энергии оно при таких условиях не подскочит. 

#75508 zhyks :

 

Ролик в Ютубе на эту тему. 

Прыгающий обруч.

Ну это как раз наглядный пример как математики в частности Джон Литлвуд не совсем понимают физику. Потенциальная энергия клеса переходит в кинетичекую энергию его вращения в нижней точке и равна момент инерции× угловая скорость²/ 2. И понятно что из за этого будет проскальзывание поскольку трудно обеспечить такое трение покоя.

И здесь ошибка. Та же самая. Почему то считают что кинетическая энергия это энергия воащения обруча и движения шруза. А надо считать энергию вращения обруча уже вместе с грузом. А это как раз и будет момент инерции обруча с грузом умноженная на квадрат угловой скорости и разделить на два. плюс перемещение цегтра масс обруча с грузом.