Магнитное поле как градиент потока плотности энергии вакуума

Магнитное поле, по меткому замечанию Максвелла, с трудом поддается умозрительному представлению. В своей последней работе я попытался приблизиться к пониманию его природы: не через силу Лоренца или закон Ампера (что является описанием явления), а через поиск онтологического смысла вектора магнитной индукции B.

Основной тезис:  Магнитное взаимодействие между двумя элементарными зарядами возникает не относительно произвольной системы отсчета, а относительно системы, связанной с доминирующим гравитационным объектом, определяющим локальную метрику пространства (в земных условиях — это центр Земли).

Это означает, что два заряда, неподвижные относительно Земли, не будут порождать магнитное поле друг для друга, как бы ни двигался наблюдатель. Их взаимодействие определяется не относительностью движения, а их движением относительно «абсолютного» фона гравитационно-искривленного пространства. Этот взгляд, безусловно, расходится с общепринятой трактовкой СТО, где все системы отсчета равноправны.

В рамках этой модели классический вывод силы взаимодействия двух движущихся зарядов из закона Био-Савара и силы Лоренца занимает всего несколько строк и выглядит совершенно естественно:
Распределение плотности каждого кластера плотности энергии  вакуума (электрического заряда и его поля) задается выражениями\(\Delta\rho_1(\mathbf r_1)=\rho_1 H(R_1' — r_1) — \frac{\rho_1 R_1'^4}{3 r_1^4} H(r_1 — R_1'),\Delta\rho_2(\mathbf r_1-\mathbf D)=\rho_2 H(R_2' — |\mathbf r_1-\mathbf D|) — \frac{\rho_2 R_2'^4}{3 |\mathbf r_1-\mathbf D|^4} H(|\mathbf r_1-\mathbf D| — R_2').\)

В статье подробно рассмотрено, что \(\rho_1, \rho_2\) имеют размерноть плотности энергии (при этом умноженную на мнимую единицу i), то есть в некотором смысле это виртуальная плотность энергии. Если предположить, что это плотность энергии есть ни что иное как плоность энергии вакуума, то если наши заряды двигаются относительно «земной» системы отсчета, тогда возникнет поток этой плотности энергии вакуума. Если разделить плотность энергии вакуума на \( С^2\), то получим ни что иное как поток плотности импульса. 

Пусть два сгустка движутся со скоростями \((\mathbf V_1) и (\mathbf V_2),\) а их «радиусы» плотностных кластеров одинаковы: \((R_1' = R_2' = R').\) Плотность потока импульса определяется как:

\(\mathbf P_i = \frac{\rho_i}{c^2} \mathbf V_i,\)

где\((\rho_i)\) — комплексная плотность энергии пространства (мнимая величина).

Кросс-член плотности потока импульса:\(\Delta\ P_{\text{cross}}(\mathbf r) = \frac{1}{c^2} \Delta\rho_1(\mathbf r) \, \mathbf V_1 \otimes \Delta\rho_2(\mathbf r — \mathbf D) \, \mathbf V_2.\)

Сила, действующая на систему, выражается через интеграл от градиента кросс-члена:\(\mathbf F = \frac{1}{c^2} (\mathbf V_1 \otimes \mathbf V_2) \cdot \oint \nabla \big[ \Delta\rho_1(\mathbf r), \Delta\rho_2(\mathbf r — \mathbf D) \big] \, dV.\)

Интегралы от градиента \(I_{S_1}^{©}\) и \(I_{S_2}^{©}\) подробно вычислены в статье при выводе закона Кулона в трехмерном пространстве  берем только их комплексную часть, получаем:

\(\begin{aligned}I_{S_1}^{©} &= -i \frac{2 \pi \rho_1 \rho_2 R'^4}{9 D^2} \mathbf e_z,\\I_{S_2}^{©} &= i \frac{2 \pi \rho_1 \rho_2 R'^4}{9 D^2} \mathbf e_z.\end{aligned}\)

Подставляя в выражение для силы и сохраняя мнимую единицу как множитель перед выражением, получаем:

\(\mathbf F = \frac{1}{\rho_0 c^2} (\mathbf V_1 \otimes \mathbf V_2) \cdot (I_{S_1}^{©} + I_{S_2}^{©})= i \frac{\pi^2 R'^4}{9} \frac{\rho_1 \rho_2}{\rho_0 c^2} \frac{1}{|\mathbf D|^2}\Big[ \mathbf V_1 (\mathbf e_z \cdot \mathbf V_2) — \mathbf V_2 (\mathbf e_z \cdot \mathbf V_1) \Big].\)

Применяя тождество для двойного векторного произведения через единичный вектор \(\hat{\mathbf D} = \mathbf D / |\mathbf D|\):

\((\hat{\mathbf D}\cdot\mathbf V_1)\mathbf V_2 — (\hat{\mathbf D}\cdot\mathbf V_2)\mathbf V_1= \mathbf V_1 \times (\mathbf V_2 \times \hat{\mathbf D}) — \mathbf V_2 \times (\mathbf V_1 \times \hat{\mathbf D}),\)

получаем два отдельных векторных слагаемых для силы:

\(\boxed{\mathbf F = i \frac{\pi^2 R'^4}{9} \frac{\rho_1 \rho_2}{\rho_0 c^2} \frac{1}{|\mathbf D|^2}\Big[ \mathbf V_1 \times (\mathbf V_2 \times \hat{\mathbf D}) — \mathbf V_2 \times (\mathbf V_1 \times \hat{\mathbf D}) \Big].}\)

Направление силы определяется двойным векторным произведением скоростей сгустков и вектора, соединяющего центры сгустков \((\mathbf D).\)

Модуль силы пропорционален \((R'^4) и (\rho_1 \rho_2 / (\rho_0 c^2 |\mathbf D|^2)).\)

Полученное выражение описывает взаимодействие двух потоков плотности энергии пространства через интеграл от градиента плотности импульса и соответствует силе магнитного взаимодействия между двумя движущимися зарядами в пространстве.Используя выражение для магнитного взаимодействия, получаем силы, действующие на каждый сгусток отдельно. Для двух сгустков с плотностями\((\rho_1) и (\rho_2)\),

Используя выражение для магнитного взаимодействия, получаем силы, действующие на каждый сгусток отдельно. Для двух сгустков с плотностями\( \rho_1 и \rho_2,\) радиусами \(R'\ \)и скоростями\( V_1\ и V_2\ \)они имеют вид:
\(\mathbf F_1 = i \frac{\pi^2 R'^4}{9} \frac{\rho_1 \rho_2}{\rho_0 c^2} \frac{1}{|\mathbf D|^2}\Big[ \mathbf V_1 \times (\mathbf V_2 \times \hat{\mathbf D}) \Big],\mathbf F_2 = i \frac{\pi^2 R'^4}{9} \frac{\rho_1 \rho_2}{\rho_0 c^2} \frac{1}{|\mathbf D|^2}\Big[ — \mathbf V_2 \times (\mathbf V_1 \times \hat{\mathbf D}) \Big].\)

Эти силы —локальные силы, действующие на каждый сгусток отдельно}, и они не обнуляются по модулю для отдельного сгустка

То, что их сумма для пары сгустков равна нулю, отражает закон действия и противодействия}: система в целом сохраняет импульс, но каждый сгусток испытывает свою индивидуальную силу.

В случае наших плотностных кластеров энергии пространства:

Для первого сгустка сила направлена вдоль \((\mathbf V_1 \times (\mathbf V_2 \times \hat{\mathbf D})),\)

Для второго — точно противоположна: \((-\mathbf V_2 \times (\mathbf V_1 \times \hat{\mathbf D})).\)

Таким образом,\(\mathbf F_{\text{total}} = \mathbf F_1 + \mathbf F_2 = 0,\)

но

\(|\mathbf F_1| = |\mathbf F_2| \neq 0.\)

Это полностью аналогично классическим кулоновским силам: два заряда испытывают равные и противоположные силы, которые не исчезают для каждого заряда отдельно, только их векторная сумма по всей системе равна нулю.

Более подробно с решением интеграла для градиента плотности потока импульса мы можете ознакомится в статье по ссылке https://doi.org/10.24108/preprints-3113792