Решение задачи по физике по механике

Задача дурацкая. Составлена дураком. Не имеет решения.
Относительная скорость Земли и кометы никогда не может быть равной 3 км в сек.Скорость комет у земли от 16 км в сек и выше, до 30 км /сек и более. Поэтому они очень опасны.
Они сводят ее к геометрии.
Нарисуйте шарик Земли и тракторию роя. Какую то часть плошади заимет земля к рою во времени.
Отсюда решение.Так нелзя делать.В рое могут быт разного разменра осколки, обломки, куски кометы.
Это показано в фильме Армагеддон.
Какая скорость Тунгусского метеорита относително земли. 27 kм/с !!!!!!

#67946 Maxxis06 :

учловие задачи не полное. Не указано, как направлена скорость клметы относительно Земли (в системе отсчёта Земли). Подразумевается, что точно на Землю. Но это следовало написать в условии.

Вот иллюстрация:

На Землю попадут те части роя, для которых прицельный параметр d меньше некоторого критического значения. Решение задачи сводится к определению критического значения этого параметра (ему соответствует параболлическая траектория, на рисунке она красная).

Общий ответ в задаче в зависимости от параметров следующий. Если диаметр роя \(d\) таков, что \(d\le 2a_{кр}\), где \(a_{кр}=R\sqrt{\displaystyle \frac{v_2^2}{v_\infty^2}+1}\), то доля роя, упавшего на Землю — единица (\(k=1\), весь рой упадет). В противном случае \(\displaystyle k=1-\left(1-\frac{4a_{кр}^2}{d^2}\right)^{3/2}\). Предполагалось, что рой шаровый однородный, и центр Земли пролетает через центр роя.

Для иллюстрации привожу график зависимости доли \(k\) от скорости кометы \(v_\infty\) при фиксированном \(d=50000\) км:

#68066 zam :

Все траектории эллиптические.

Нет, в системе отсчета Земли все траектории гиперболические. В этой системе на большом расстоянии от Земли все частицы роя имеют одну и ту же скорость \(v_\infty\)  (она задана в условии). Частица приближается к Земле по ветви гиперболы. Далее, если она не сталкивается с Землей, то ее максимальная скорость \(v_p>v_\infty\) достигается в перигее на расстоянии \(r_p\) от центра Земли. Пролетев перигей, частица уходит от Земли по второй ветви гиперболы. На большом удалении от Земли ее скорость снова становится равной \(v_\infty\). 

#68066 zam :.

А вывод приведённой вами формулы можете привести?

Пусть прицельный параметр частицы \(a\) (изначально не совсем удачно обозначил, обычно обозначают \(b\), ну да ладно). Не теряя общности, ее массу считаем единичной. Модуль момента импульса частицы — это произведение ее скорости на расстояние прямой вдоль вектора скорости до центра Земли. Записываем законы сохранения момента импульса и энергии для двух положений — на большом удалении и в перигее:

\(\displaystyle v_\infty a=v_p r_p, \qquad \frac{1}{2}v_\infty^2=\frac{1}{2}v_p^2-\frac{GM}{r_p}.\)

Исключаем из уравнений \(v_p\) и получаем \(\displaystyle a=r_p\sqrt{\frac{2GM}{v_\infty^2 r_p}+1}.\) Очевидно, что функция \(a=a(r_p)\)  — возрастающая.

Теперь важный момент. Частица падает на Землю, если ее перигей \(r_p\) оказывается меньше радиуса Земли \(R\). Это означает, что должно быть \(a<a_{кр}\), где критическое значение прицельного параметра находится из условия \(r_p=R\), т.е. \(\displaystyle a_{кр}=R\sqrt{\frac{2GM}{v_\infty^2 R}+1}\). Но \(\displaystyle v_2=\sqrt{\frac{2GM}{R}}\)  — это вторая космическая скорость. Окончательно, \(\displaystyle a_{кр}=R\sqrt{\frac{v_2^2}{v_\infty^2}+1}\). Подставляя сюда \(v_\infty=2{,}8\) км/с, получаем \(a_{кр}=26400\) км. Все прицельные расстояния меньше чем \(d/2=25000\) км, поэтому весь рой упадет на Землю.

#68068 drobyshev :

#68066 zam :

Все траектории эллиптические.

Нет, в системе отсчета Земли все траектории гиперболические. В этой системе на большом расстоянии от Земли все частицы роя имеют одну и ту же скорость \(v_\infty\)  (она задана в условии).

В условии задана скорость 2.8 км/с в непосредственной близости от Земли, никак не на бесконечности. Если бы это была скорость вдалеке от Земли, то мы ничего не могли бы сказать про скорость рядом с Землёй. Кометы в Солнечной системе не летают по прямым линиям и с постоянными скоростями. К тому же, если комета летит к Солнцу, то её скорость увеличивается, а если от Солнца, то уменьшается. 

Частица приближается к Земле по ветви гиперболы.

Мы ничего не можем знать о траектории частиц вдалеке от Земли — данных недостаточно.

#68066 zam :.

А вывод приведённой вами формулы можете привести?

Пусть прицельный параметр частицы \(a\) (изначально не совсем удачно обозначил, обычно обозначают \(b\), ну да ладно). Не теряя общности, ее массу считаем единичной. Модуль момента импульса частицы — это произведение ее скорости на расстояние прямой вдоль вектора скорости до центра Земли. Записываем законы сохранения момента импульса и энергии для двух положений — на большом удалении и в перигее:

\(\displaystyle v_\infty a=v_p r_p, \qquad \frac{1}{2}v_\infty^2=\frac{1}{2}v_p^2-\frac{GM}{r_p}.\)

Исключаем из уравнений \(v_p\) и получаем \(\displaystyle a=r_p\sqrt{\frac{2GM}{v_\infty^2 r_p}+1}.\) Очевидно, что функция \(a=a(r_p)\)  — возрастающая.

Теперь важный момент. Частица падает на Землю, если ее перигей \(r_p\) оказывается меньше радиуса Земли \(R\). Это означает, что должно быть \(a<a_{кр}\), где критическое значение прицельного параметра находится из условия \(r_p=R\), т.е. \(\displaystyle a_{кр}=R\sqrt{\frac{2GM}{v_\infty^2 R}+1}\). Но \(\displaystyle v_2=\sqrt{\frac{2GM}{R}}\)  — это вторая космическая скорость. Окончательно, \(\displaystyle a_{кр}=R\sqrt{\frac{v_2^2}{v_\infty^2}+1}\). Подставляя сюда \(v_\infty=2{,}8\) км/с, получаем \(a_{кр}=26400\) км. Все прицельные расстояния меньше чем \(d/2=25000\) км, поэтому весь рой упадет на Землю.

Тут всё верно. Но вы решили не ту задачу.