Задача о длине движущегося тела. Приводит в тупик.

Доброго времени суток!

Вроде бы простая задача приводит в тупик.

Задачу необходимо решить с помощью формул СТО из работ исключительно Эйнштейна.  Использовать другие теории запрещено. Вводить другие тела и системы отсчета, а также изменять условия задачи также запрещено.

Суть задачи в следующем.

Пусть в далеком космосе друг относительно друга по инерции движутся две твердые железные линейки длиной по 5 метров (рис. 1, а). Скорость движения равна 0,866 скорости света. На линейках нанесены шкалы длины, такие как на обычных измерительных рулетках.

Рис. 1. Движение линеек друг относительно друга: a) линейки неподвижны; б) движение с точки зрения наблюдателя, расположенного на первой линейке; в) движение с точки зрения наблюдателя, расположенного на второй линейке.

На первой линейке на расстоянии 2 метра друг от друга прикреплены синхронно идущие часы и лазеры. Когда линейки оказываются друг напротив друга, по одновременным сигналам часов лазеры одновременно посылают два световых импульса, которые делают две отметки на второй линейке.

С точки зрения наблюдателя, связанного с первой линейкой, первая линейка неподвижна, а вторая движется относительно первой (рис. 1, б). С точки зрения другого наблюдателя, связанного со второй линейкой, вторая линейка неподвижна, а первая движется относительно второй (рис. 1, в).

Вопрос 1. Чему равно расстояние между отметками лазеров на второй линейке с точки зрения наблюдателя, связанного с первой линейкой (рис. 1, б)?

Подсказка

При скорости движения 0,866 скорости света тела должны сокращаться в два раза.

С точки зрения наблюдателя, расположенного на первой линейке, вторая линейка станет короче, она сожмется в продольном направлении ровно в 2 раза. Вместе со второй линейкой сожмется и шкала длины на линейке (рис. 1, б).

В соответствии с СТО расстояние между отметками лазеров можно найти по формуле [1, c.18; 2, с. 27]:

\(l = {l_0 \over \sqrt{1-(v/с)^2}}=2l_0\)

где \(l_0\)  – расстояние между лазерами, равное 2 метра;

v – скорость движения линеек друг относительно друга;

c– скорость света.

Вопрос 2. Чему равно расстояние между отметками лазеров на второй линейке с точки зрения наблюдателя, связанного со второй линейкой (рис. 1, в)?

Подсказка

В то же самое время с точки зрения наблюдателя, расположенного на второй линейке (для него вторая линейка неподвижна, а первая – движется), первая линейка из-за движения станет короче в 2 раза (рис. 1, в).

При этом в соответствии с СТО расстояние между отметками лазеров можно найти по формуле:

\(l = {l_0  \sqrt{1-(v/c)^2}}=0,5l_0\)

Пусть далее вторая линейка была перемещена из космоса на Землю, для измерения расстояния между метками лазеров исследователем в земной лаборатории.

Вопрос 3. Чему равно расстояние между отметками лазеров на второй линейке, которое зафиксирует исследователь на Земле?

Подсказка

Меток лазеров на второй линейке было всего лишь две, независимо от того, с какой стороны велось наблюдение за движением линеек друг относительно друга в космосе. Следовательно, расстояние между отметками лазеров на второй линейке только одно, также независимо от того, с какой стороны велось наблюдение за движением линеек. С одной стороны, это расстояние получено при ответе на вопрос 1, а с другой стороны, это расстояние получено при ответе на вопрос 2. Если значения расстояний, полученные при ответах на вопросы 1 и 2, являются разными, имеет место логическое противоречие.

Задача

Задача состоит в том, чтобы с использованием формул СТО, имеющихся в работах Эйнштейна (другие работы по СТО, а также другие теории, в том числе ОТО, использовать запрещено) ответить на вопросы 1, 2 и 3. В решении задачи требуется привести формулы и расчеты. Изменять условия задач, вводить дополнительные тела, часы, наблюдателей, системы отсчета и что-либо еще, нельзя.

Литература

1. Эйнштейн А. К электродинамике движущихся тел // Собр. науч. тр. – Т. 1. – М.: Наука, 1965. – С. 7-35.
2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: Учеб.пособ.: Для вузов. В 10 т.  Т. 2. Теория поля. – 7-е изд. испр. — М.: Наука, 1988. 512 с.

У меня ответ на вопрос 1 дает: 4 метра.

Ответ на вопрос 2: 1 метр.

Ответ на вопрос 3: приводит в тупик (4 или 1 метр?).

Понятно, что противоречие разрешается с помощью относительности одновременности. Но чему равно одно расстояние между двумя метками лазеров?

С уважением

Имеем инерциальную систему отсчёта (ИСО) привязанную к линейке с лазерами (систему К). 

Имеем пару событий:

  — «А» — вспышка левого лазера;

  — «В» — вспышка правого лазера.

Координаты этих событий в ИСО К: \( t_A=0;\; x_A=0;\; t_B=0;\; x_B=2\) .

Имеем ИСО, привязанную к линейке-мишени  (систему К'). Она двжеся оносительно системы К со скоростью \(v=\frac{\sqrt{3}}{2} c\) .

Лоренц-фактор: \(\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=2\) .

При помощи преобразований Лоренца найдём координаты событий в системе К'.

\(x'_A=\gamma \left ( x_A+vt_A) \right )=0 \\t'_A=\gamma \left ( t_A+\frac{vx_A}{c^2} \right )=0 \\x'_B=\gamma \left ( x_B+vt_B) \right )=4 \\t'_B=\gamma \left ( t_B+\frac{vx_B}{c^2} \right )=\frac{\sqrt{3}}{c} \\\)

Лазер В дал вспышку позже лазера А, следы вспышек на линейке-мишени в точках «0» и «4».

#66657 zam :

 

\(x'_A=\gamma \left ( x_A+vt_A) \right )=0 \\t'_A=\gamma \left ( t_A+\frac{vx_A}{c^2} \right )=0 \\x'_B=\gamma \left ( x_B+vt_B) \right )=4 \\t'_B=\gamma \left ( t_B+\frac{vx_B}{c^2} \right )=\frac{\sqrt{3}}{c} \\\)

Лазер В дал вспышку позже лазера А, следы вспышек на линейке-мишени в точках «0» и «4».

Доброе время суток!

Математика безупречна.

Пытаюсь разглядеть через стройные деревья математических символов лес понимания физического смысла описываемых математикой процессов. Мелькают силуэты то ли тупиков, то ли теней от деревьев. :)

Правильно ли я понимаю, что если вдоль железной линейки будет лететь (со скоростью 0,866 скорости света) двухметровая балка, по всей длине которой (например, через 10 см) будут расположены лазеры, причем лазеры по сигналам синхронизированных часов в направлении линейки одновременно пошлют импульсы света, то на линейке останется след от лазеров длиной 4 метра? Другими словами, длина следа от движущейся балки при скорости 0,866 c  будет в два раза больше собственной длины балки?

PS Если бы мне заплатили миллион долларов за то, чтобы я сконструировал установку для измерения длины быстродвижущегося тела, я бы сделал именно так. Разместил бы на движущемся теле источники света (лазеры), синхронные часы, по сигналам которых одновременно кратковременно вспыхивают источники света, а на линейке, мимо которой движется тело, расположил бы датчики, фиксирующие вспышки света рядом с ними. Движущееся тело кратковременно вспыхнет, а датчики зафиксируют длину тела во время его движения.

Вместо датчиков можно использовать обыкновенную фотобумагу и проводить измерение в темноте.

С уважением

#66741 zam :

А я бы фотографировал быстро движущееся тело на фоне покоящейся линейки с использованием фотоаппарата с чрезвычайно быстрым затвором:

Спасибо!

Хорошо отвечаете. Понятно. Но маячат еще очертания то ли тупиков, то ли теней математических символов. Поэтому будут еще вопросы.

PS Что касается фотографии движущейся со скоростью 0,866 c машины, есть любопытная статья Болотовский Б. М., Малыкин Г. Б. Видимая форма движущихся тел // Успехи физических наук. 2019. Т. 189. № 10. С. 1084-1103.

Смотря под каким ракурсом снимать )

С уважением

#66807 Александр П :

Если 10-ти метровый (в покое) автомобиль будет ехать по дороге со скоростью 0,866 скорости света, в полной темноте, и далеко в небе в зените на мгновение ярко вспыхнет звезда (точечный источник света), на дороге будет расстелена фотобумага, какая длина тени автомобиля будет на проявленной фотобумаге? 5 метров? Или 20 метров?

5 метров.

Измерив длину тени, можно измерить реальную длину автомобиля при его движении. Так ли это?

Измерение длины тени — это и есть измерение длины автомобиля. А что вы имеете в виду под термином «реальная длина»? 

Если на багажнике автомобиля прикреплен жесткий лист металла, параллельный земле, упадут ли лучи света (или фотоны) на разные точки листа одновременно?

С вашей точки зрения — упадут одновременно. С точки зрения водителя автомобиля — упадут не одновременно.

Судя по тому, что звезда находится далеко в зените (под 90 градусов к листу), лучи света упадут на все точки листа одновременно, поскольку лучи света от далекого источника света возле листа параллельны друг другу, а расстояние от далекого точечного источника света до всех точек листа практически одинаково.

Но направление световых лучей зависит от скорости наблюдателя (световая аберрация).

PS Подъезжаем на скорости 0,866 c к полной ясности вопроса ) Пока непонятно, упремся ли мы в тупик, или тупиком кажется тень математических символов )

Только математические символы и вносят ясность.

#66741 zam :

Доброго времени суток!

Рис. Мгновенное фото движущейся машины. Слева неподвижная машина, справа движущаяся машина.

Обозначения на рис.:

A и B – лазеры на машине, выстрелившие одновременно в сторону объектива и пробившие дорожное ограждение в точках A' и B'

A' и B' – отметки лазеров на дорожном ограждении.

Рассмотрим машину, движущуюся со скоростью 0,866 по дороге. Между нами и машиной расположено полупрозрачное дорожное ограждение.

В точках A и B машины расположены синхронизированные между собой часы.

Сфотографируем машину с далекого расстояния с помощью фотоаппарата с чрезвычайно быстрым затвором. Угол съемки к дороге 90 градусов, поэтому в момент, изображенный на фотографии, синхронизированные часы машины находятся на одинаковом расстоянии от объектива, и если циферблаты часов будут видны на фото хорошего разрешения, то они покажут одинаковое время.

В момент, изображенный на фото, лазеры одновременно с точки зрения часов A и B на машине выстрелят в сторону объектива, пробив дорожное ограждение. При этом на моментальном фото будут видны две одновременные вспышки лазеров A и B и соответственно две дырки A' и B' от лазеров на дорожном ограждении.

Если длина автомобиля в покое 4 метра, то расстояние между дырками на ограждении 2 метра.

Следовательно, если лазеры расположены на движущейся линейке, и расстояние между ними 2 метра (рис. 1, в), то расстояние между отметками лазеров на неподвижной линейке будет равным 1 метру (см. исходную задачу).

Тупик, однако.