Собственная частота пружинного маятника

Пружинный маятник представляет собой куб массой m, колеблющийся на горизонтальной поверхности без трения. На кубик разово воздействует сила F, после чего кубик начинает колебаться под воздействием пружины с жёсткостью k.

Во втором случае добавлен демпфер с постоянной демфирования b.

При известных m, b, k, x₀ и x'₀ надо найти собственную частоуы для обоих случаев.

#64049 Seva :

Уравнение движения продольных затухающих колебаний во втором случае имеет вид:

В первом случае второе слагаемое отсутствует.

На этом мои потуги заглохли.

Прежде всего, дифференциальное уравнение нужно записать вот так: \(m\ddot{x}+b\dot{x}+kx = 0\) . Сказано же в условии, сила F воздействует на кубик разово, толкнула его и пропала.

Решение этого уравнения:

\(x=Ae^{\lambda t}cos\left ( \omega t+\varphi \right )\) ,

и частота собственных колебаний маятника равна \(\omega =\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{b^2}{4m^2}}\) .

Конечно, коэффициент демпфирования \(b\) должен быть достаточно малым, чтобы выполнялось условие \(\frac{k}{m}-\frac{b^2}{4m^2} \geqslant 0\) . Иначе под корнем отрицательное число, \(\omega\)  получается мнимой, никаких колебаний, просто сумма двух экспонент.

Если же \(b = 0\) (первый случай), то \(\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}\)  .

#64071 Seva :

Значит данные в условии величины l₀, x₀ и x'₀ лишние? Т.е. никак не влияют на ответ?

От этих величин зависят значения величин \(A\) и \(\varphi\), входящих в решение дифференциального уравнения (амплитуда и начальная фаза). Но ведь нас про это не спрашивают.