Четырехугольник вписанный в окружность

#63322 johit97269 :

 Доказать, что если система находится в равновесии то около четырехугольника можно описать окружность.

Посмотрите вот тут:  https://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=50&t=82160  https://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=50&t=82160  .

#63332 johit97269 :

да, да, а еще можно посмотреть сюда:

https://dxdy.ru/topic157629.html

там тоже не решили:)

Ну почему же не решили? «Если внутри четырехугольника создать давление, то он ограничит максимально возможную площадь, т.е. впишется в окружность». Это и есть решение. По крайней мере, вся физическая часть задачи (всякая система стремится к состоянию с минимальной потенциальной энергией) закончена. Осталась только математика.

А то, что мнегоугольник с максимальной площадью — это вписанный в окружность многоугольник, — достаточно известный факт.

Но, допустим, мы этого не знаем. Докажем это для четырёхугольника.

Дан четырёхугольник со сторонами a, b, c, d.

Нужно доказать, что его площадь будет максимальной тогда, когда он вписан в окружность.

Площадь четырёхугольника:

\(S=\frac{1}{2}absin\varphi +\frac{1}{2}cdsin\psi\)  .

Квадрат диагонали четырёхугольника (теорема косинусов):

\(z^2=a^2+b^2-2abcos\varphi =c^2+d^2-2cdcos\psi\)  .

Нужно найти такие значения углов \(\varphi \) и \(\psi\), при которых площадь треугольника максимальна.

Имеем задачу поиска условного экстремума.

Найти \(\frac{1}{2}absin\varphi +\frac{1}{2}cdsin\psi \rightarrow \underset{\varphi ,\psi }{min}\)

При условии \(a^2+b^2-2abcos\varphi -c^2-d^2+2cdcos\psi = 0\).

Решаем методом множителей Лагранжа.

Функция Лагранжа:

\(L=\frac{1}{2}absin\varphi +\frac{1}{2}cdsin\psi + \lambda \left ( a^2+b^2-2abcos\varphi -c^2-d^2+2cdcos\psi \right )\)

Частные производные функции Лагранжа:

\(\frac{\partial L}{\partial \varphi}=\frac{1}{2}abcos\varphi +2\lambda absin\varphi \\\frac{\partial L}{\partial \psi }=\frac{1}{2}cdcos\psi -2\lambda cdsin\psi \)

Приравниваем производные нулю и получаем систему трёх уравнений:

\(\left\{\begin{matrix}a^2+b^2-2abcos\varphi -c^2-d^2+2cdcos\psi = 0\\ \frac{1}{2}abcos\varphi +2\lambda absin\varphi=0\\ \frac{1}{2}cdcos\psi -2\lambda cdsin\psi=0\end{matrix}\right.\)

Из второго и третьего уравнений имеем

\(tg\varphi =-\frac{1}{4\lambda } \\tg\psi =\frac{1}{4\lambda }\)

Таким образом, \(tg\varphi +tg\psi =0\)  .

Но \(tg\varphi +tg\psi =\frac{sin\left (\varphi + \psi \right )}{cos\varphi cos \psi }\) .

Значит \(sin\left (\varphi + \psi \right ) = 0\) и \(\varphi + \psi =\pi\) .

А это и есть признак того, что вокруг четырёхугольника можно описать окружность.

Утверждение доказано.

#63353 johit97269 :

Ну почему же не решили? «Если внутри четырехугольника создать давление, то он ограничит максимально возможную площадь, т.е. впишется в окружность». Это и есть решение. По крайней мере, вся физическая часть задачи (всякая система стремится к состоянию с минимальной потенциальной энергией) закончена. Осталась только математика.

Строго говоря, это другая задача. Другие силы приложены.

Это та самая задача.

Берём герметичный ящик. Зполняем его газом до давления p. На каждую элементарную площадку стенки будет действовать сила dF = pds. Равнодействующая этих сил (интеграл по поверхности стенки) будет равна pS и приложена в геометрическом центре стенки. Как и указано в условиях задачи.

То, что уравнения равновесия будут одинаковыми, что для распределенных сил в случае давления что для точечных как в условии задачи — это откуда следует?

Из классической механики.

Вы это проверяли? 

Со времён формулировки газовых законов (Бойль, Мариотт, Гей-Люссак, Шарль...) это проверялось миллион раз.

И второе: а из чего следует, что там только одно положение равновесия, когда четырехугольник вписан в окружность? А вдруг другие есть.

Метот множителей Лагранжа находит все подозрительные на условный экстремум точки.

Строго говоря, из формулы  \(sin\left (\varphi + \psi \right ) = 0\)  кроме решения  \(\varphi + \psi =\pi\)  следует ещё два: \(\varphi + \psi =0\) и \(\varphi + \psi =2\pi\) . Но они отсекаются либо тем, что это точки минимума площади, а не максимума, либо невозможностью так деформировать четурёхугольник.

Если очень аккуратно, то нужно ещё рассмотреть варианты \(cos\varphi =0\)  и  \(cos \psi =0\)  (прямые углы), потому что эти выражения встречаются в знаменателе. Но это я вам предлагаю сделать самостоятельно.

Тогда утверждение <<из того что четырехгольник находится в равновесии следует, что он вписан в окружность>> — просто неверно. 

А оно верно.

Я совсем не против этой интерпретации с давлением, это очень полезная и красивая эвристика, но необходимости писать уравнения это не отменяет, увы. 

Все нужные уравнения написаны.

ps: Решение мне известно, это, наверное, стоило сразу сказать, pardon. Я имел в виду предложить олимпиадную задачу.

Опубликуйте известное вам решение. Это интересно.