Решение задачки на распределение Больцмана

Распределение Больцмана
Автор
Сообщение
question_asker
#56207 2023-04-29 20:54 GMT

Условие задачи следующее:
Сколько молей идеального газа содержится в бесконечно высокой конусообразной воронке, стоящей вертикально в однородном поле силы тяжести, если давление при её вершине равно P0? Молярная масса газа равна µ, температура T, угол раствора конуса 2α, ускорение свободного падения g.
Я пытался решить данную задачу через распределение Больцмана — тему, которую мы сейчас изучаем — и не смог: я нашел в интернете следующую формулу для вероятности:

\(W(h)=W_0(\frac{h}{H})^2S_0e^{\frac{-mgh}{kT}},\)
где W_0 — нормировочная константа, S_0 — площадь единичной поверхности, в нашем случае её, как я посчитал, можно принять за \(S_0=htg(\alpha)\), h — рассматриваемая высота, H — высота всего цилиндра.
У меня пару вопросов: Как определить нормировочную константу W_0 и что делать с высотой H — она ведь стремится к бесконечности… Буду благодарен, если помимо этого просто может кто подскажет дальнейший ход решения.

zam
#56210 2023-04-30 11:05 GMT
#56207 question_asker :

Я пытался решить данную задачу через распределение Больцмана

Зачем вам распределение Больцмана? Вам нужна атмосфера Больцмана:

\(p(h)= p_0e^{-\frac{\mu gh}{RT}}\)     ( https://ru.wikipedia.org/wiki/Барометрическая_формула  https://ru.wikipedia.org/wiki/Барометрическая_формула ),

Находите давление на высоте h, находите площадь сечения конуса на высоте h, находите количество молей газа в слое на высоте h  толщиной dh, 

и что делать с высотой H — она ведь стремится к бесконечности…

Интегрируете полученное выражение по высоте от нуля до бесконечности.