Время (скорость?) возвращения деформированного тела в изначальну

С какой скоростью растянуая резинка вернется в изначальную форму
Автор
Сообщение
britva
#54774 2023-01-26 00:52 GMT

Занимаюсь умозрительными прикидками о возможностях рогатки с резиновыми тягами. По моим расчетам, в которых я, честно говоря, сомневаюсь, при малом весе снаряда (2 грамма, к примеру), снаряд можно разогнать до сверхзвуковых скоростей. Мне это кажется весьма удивительным, ищу подвох. Подумал, что, хоть теоретически резинка и воздействует на снаряд с определенной силой, скажем, 300 ньютонов, и может его разогнать,  но для придания снаряду расчетной скорости ей просто не хватает скорости сокращения. Термин сам придумал, не уверен в его корректности)

От чего зависит скорость сокращения?

Как расчитать скорость снаряда при воздействии резинки? Ибо в своих расчетах, повторюсь, не уверен

zam
#54788 2023-01-26 13:58 GMT
#54774 britva :

Как расчитать скорость снаряда при воздействии резинки?

Давайте возьмём не резинку, а пружинку. Разница не велика.

У нас есть пружина с массой M , длиной в свободном состоянии L 0и коэффициентом упругости k. Мы её сжимаем до длины L. В результате потенциальная энергия пружины станет равной \(U=\frac{k\left ( L_0-L \right )^2}{2}\) (закон Гука).

Потом мы её отпускаем. Груз с массой m приобретает скорость v. Различные части пружины тоже приобретут некоторые (разные) скорости.

Найдём кинетическую энергию системы в момент, когда пружина полностью распрямилась.

\(T=\frac{mv^2}{2}+\frac{Mv^2}{2L^3} \int_{0}^{L}x^2dx=\frac{\left ( m+\frac{M}{3} \right )v^2}{2}\)

Приравнивая эти выражения, получим, что груз массой m приобретёт скорость

\(v=\left ( L_0-L \right )\sqrt{\frac{k}{m+\frac{M}{3}}} \) .

Ну и про вопрос в заголовке – «Время возвращения деформированного тела к начальной форме».

Точный расчет делать лень, но можно оценить вот так:  \(t\approx \frac{L_0-L}{0.5v}=2\sqrt{\frac{m+\frac{M}{3}}{k}}\) .

 

givigudze
#54790 2023-01-26 16:22 GMT

M*v^2/(2*L^3) * Интеграл   — можно по-подробнее, что это и откуда .  Похоже на кинетическую энергию пружину, но откуда  L^3  ? 

britva
#54791 2023-01-26 16:24 GMT

Спасибо большое. Гуглить эти формулы — замучился бы. Как их все помнить?) Мне бы помнить хотя бы о их существовании Smile

zam
#54794 2023-01-26 20:16 GMT
#54790 givigudze :

M*v^2/(2*L^3) * Интеграл   — можно по-подробнее, что это и откуда .  Похоже на кинетическую энергию пружину, но откуда  L^3  ? 

Маленький кусочек пружины длной \(dx\), расположенный на рассоянии \(x\) от левого конца пружины имеет массу \(\frac M L dx\), скорость \(v\frac x L\), кинетическую энергию  \(\frac {(\frac M L dx) (v \frac x L)^2} {2} =\frac{Mv^2} {2L^3} x^2dx\) .

Полная кинетическая энергия пружины — это интеграл от этого выражения по длине пружины.

zam
#54796 2023-01-26 20:28 GMT
#54791 britva :

Как их все помнить?

Этого не нужно.

 

Маленькая историческая справка. Два года Эйншейн был профессором Пражского унверситета, читал там лекции. По воспоминаниям студентов, это было ужасно. Ни одной формулы не помнит, постоянно бегает от стола к доске переписывая их из учебника; всё время перепрыгивает с немецкого яхыка на английский и обратно...

 

Мне бы помнить хотя бы о их существовании 

А вот это нужно. Для этого достаточно решить два десятка задачек из школьного учебника по теме «Механика».

 

givigudze
#54812 2023-01-27 15:07 GMT

Каждый кусочек пружины движется с разной скоростью.   Хорошая задача на составление интеграллов !