Сочинил задачу на силу Архимеда. Тестирую сложность. Налетай!
#53894 Lucas :#53890 Valery Z :#53886 Lucas :#53885 Valery Z :#53884 Lucas :#53880 Valery Z :#53874 Lucas :#53869 Valery Z :Вот соображения:
я не уверен что последний пункт о равенстве объемов справедлив. Я думаю более правильно говорить о центре масс погруженной части.
Разве это ни одно и то же в данном случае? Плоскость, которая делит погружённый объём на 2 равных объёма проходит через его ц. масс. Просто при вычислении угла удобнее (наверное?) использовать равенство объёмов, нежели ц. масс.
ну представьте, что у вас под водой не такое равномерное тело, а сплюснутое с правой стороны вниз (как кочерга), центр масс тогда будет сильно левее линии разделяющей объемы пополам. либо банально прямоугольный треугольник у которого один катет совпадает с линией воды. Посчитайте центр масс и посчитайте положение линии делящей на 2 объема, они не совпадут.
Тогда нужно смотреть где будет ц. масс всей конструкции (с грузом). Кочерга тоже тонкая, как пластина, и вытесненным объёмом от неё можно будет пренебречь. Если треугольник, значит торец сильно утяжелён, и ц. масс бруска (с грузом) тоже смещён сильно вправо. Нарисуйте картинку, тогда будет понятнее.
Есть центр масс сил тяжести и центр масс сил архимеда. Пластина не влияет на второй. Если можно уточнить вопрос.
Пластина влияет на второй через смещение ц. масс бруска после того как её прицепили к торцу бруска (я так понимаю).
Нарисуйте вариант с кочергой, — мы можем о разном говорить.
я говорил про кочергу как пример, что вертикальная прямая, разделяющая объемы пополам не проходит через центр масс
Про вертикаль, через которую проходят два ц. масс говорил zam в посте 53830, я с ним был несогласен (см. 53838). Но при моделировании процесса получилось, что два ц. масс почти совпали по вертикальной линии. Вообще, они не обязаны совпадать, т.к. в процессе уравновешивания в жидкости, — при изменении угла крена, центр погружённого объёма гуляет вправо/влево, подстраиваясь под изменение плеча действия груза. Кстати, груз (пластина), хотя и тонкая, но у её погружённой (как и у не погружённой) части тоже изменяется плечо действия в зависимости от угла крена бруска. Поэтому, задача ещё усложняется.
«Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы, но потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий». © Козьма Прутков
Личное сообщение#53899 Valery Z :#53894 Lucas :#53890 Valery Z :#53886 Lucas :#53885 Valery Z :#53884 Lucas :#53880 Valery Z :#53874 Lucas :#53869 Valery Z :Вот соображения:
я не уверен что последний пункт о равенстве объемов справедлив. Я думаю более правильно говорить о центре масс погруженной части.
Разве это ни одно и то же в данном случае? Плоскость, которая делит погружённый объём на 2 равных объёма проходит через его ц. масс. Просто при вычислении угла удобнее (наверное?) использовать равенство объёмов, нежели ц. масс.
ну представьте, что у вас под водой не такое равномерное тело, а сплюснутое с правой стороны вниз (как кочерга), центр масс тогда будет сильно левее линии разделяющей объемы пополам. либо банально прямоугольный треугольник у которого один катет совпадает с линией воды. Посчитайте центр масс и посчитайте положение линии делящей на 2 объема, они не совпадут.
Тогда нужно смотреть где будет ц. масс всей конструкции (с грузом). Кочерга тоже тонкая, как пластина, и вытесненным объёмом от неё можно будет пренебречь. Если треугольник, значит торец сильно утяжелён, и ц. масс бруска (с грузом) тоже смещён сильно вправо. Нарисуйте картинку, тогда будет понятнее.
Есть центр масс сил тяжести и центр масс сил архимеда. Пластина не влияет на второй. Если можно уточнить вопрос.
Пластина влияет на второй через смещение ц. масс бруска после того как её прицепили к торцу бруска (я так понимаю).
Нарисуйте вариант с кочергой, — мы можем о разном говорить.
я говорил про кочергу как пример, что вертикальная прямая, разделяющая объемы пополам не проходит через центр масс
Про вертикаль, через которую проходят два ц. масс говорил zam в посте 53830, я с ним был несогласен (см. 53838). Но при моделировании процесса получилось, что два ц. масс почти совпали по вертикальной линии. Вообще, они не обязаны совпадать, т.к. в процессе уравновешивания в жидкости, — при изменении угла крена, центр погружённого объёма гуляет вправо/влево, подстраиваясь под изменение плеча действия груза. Кстати, груз (пластина), хотя и тонкая, но у её погружённой (как и у не погружённой) части тоже изменяется плечо действия в зависимости от угла крена бруска. Поэтому, задача ещё усложняется.
мне кажется, поскольку углы малые (менее 10 градусов) то горизонтальным смещением за счет поворота можно пренебречь
#53900 Lucas :#53899 Valery Z :#53894 Lucas :#53890 Valery Z :#53886 Lucas :#53885 Valery Z :#53884 Lucas :#53880 Valery Z :#53874 Lucas :#53869 Valery Z :Вот соображения:
я не уверен что последний пункт о равенстве объемов справедлив. Я думаю более правильно говорить о центре масс погруженной части.
Разве это ни одно и то же в данном случае? Плоскость, которая делит погружённый объём на 2 равных объёма проходит через его ц. масс. Просто при вычислении угла удобнее (наверное?) использовать равенство объёмов, нежели ц. масс.
ну представьте, что у вас под водой не такое равномерное тело, а сплюснутое с правой стороны вниз (как кочерга), центр масс тогда будет сильно левее линии разделяющей объемы пополам. либо банально прямоугольный треугольник у которого один катет совпадает с линией воды. Посчитайте центр масс и посчитайте положение линии делящей на 2 объема, они не совпадут.
Тогда нужно смотреть где будет ц. масс всей конструкции (с грузом). Кочерга тоже тонкая, как пластина, и вытесненным объёмом от неё можно будет пренебречь. Если треугольник, значит торец сильно утяжелён, и ц. масс бруска (с грузом) тоже смещён сильно вправо. Нарисуйте картинку, тогда будет понятнее.
Есть центр масс сил тяжести и центр масс сил архимеда. Пластина не влияет на второй. Если можно уточнить вопрос.
Пластина влияет на второй через смещение ц. масс бруска после того как её прицепили к торцу бруска (я так понимаю).
Нарисуйте вариант с кочергой, — мы можем о разном говорить.
я говорил про кочергу как пример, что вертикальная прямая, разделяющая объемы пополам не проходит через центр масс
Про вертикаль, через которую проходят два ц. масс говорил zam в посте 53830, я с ним был несогласен (см. 53838). Но при моделировании процесса получилось, что два ц. масс почти совпали по вертикальной линии. Вообще, они не обязаны совпадать, т.к. в процессе уравновешивания в жидкости, — при изменении угла крена, центр погружённого объёма гуляет вправо/влево, подстраиваясь под изменение плеча действия груза. Кстати, груз (пластина), хотя и тонкая, но у её погружённой (как и у не погружённой) части тоже изменяется плечо действия в зависимости от угла крена бруска. Поэтому, задача ещё усложняется.
мне кажется, поскольку углы малые (менее 10 градусов) то горизонтальным смещением за счет поворота можно пренебречь
Наверное, придётся пренебречь, иначе задача получается нерешаемая.
«Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы, но потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий». © Козьма Прутков
Интересная штука получается. Если брать за ось крена центр погружённого объёма, то равенства объёмов (левой и правой его половин) не достичь, при любом угле крена.
И это, видимо, правильно. Если бы ось крена совпадала с центром масс погруженного объёма, то не было бы и самого крена.
Если (вертикальная) плоскость, разделяющая погружённый объём проходит через центр масс бруска+пластины, тогда равенство объёмов получается при 4-х градусах крена.
«Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы, но потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий». © Козьма Прутков
отредактировал(а) Valery Z: 2022-12-13 12:20 GMT
Valery Z Только через интегралы. Да есть некий центр (ось) относительно которой тело вращается. Но с каждым изменением эта ось тоже будет смещаться.
Я сразу сказал, что задача не простая — сродни задачи на расчет чашечного осадкомера.
Да есть статическое состояние в котором будет равновесие. Но равновесие же всех сил — и силы тяжести приложенной с определенным плечом (нам не известным) к стальной пластине.
#53922 givigudze :Valery Z Только через интегралы. Да есть некий центр (ось) относительно которой тело вращается. Но с каждым изменением эта ось тоже будет смещаться.
Я сразу сказал, что задача не простая — сродни задачи на расчет чашечного осадкомера.
Да есть статическое состояние в котором будет равновесие. Но равновесие же всех сил — и силы тяжести приложенной с определенным плечом (нам не известным) к стальной пластине.
я решал относительно левого края, полагая что плечо сил тяжести не меняется, ввиду малых углов, а плечо сил архимеда должно быть на том же расстоянии.
#53927 Lucas :#53922 givigudze :Valery Z Только через интегралы. Да есть некий центр (ось) относительно которой тело вращается. Но с каждым изменением эта ось тоже будет смещаться.
Я сразу сказал, что задача не простая — сродни задачи на расчет чашечного осадкомера.
Да есть статическое состояние в котором будет равновесие. Но равновесие же всех сил — и силы тяжести приложенной с определенным плечом (нам не известным) к стальной пластине.
я решал относительно левого края, полагая что плечо сил тяжести не меняется, ввиду малых углов, а плечо сил архимеда должно быть на том же расстоянии.
Плечо на том же расстоянии — это на каком?
У меня получилась интересная закономерность. Утяжелил пластину в 2 раза — увеличилось плечо сил Архимеда относительно ц. масс и увеличился угол крена в 2 раза.
Вообще по логике вещей, раз линия раздела погружённого объёма делит этот объём пополам, значит она должна проходить через его центр, но получается что не проходит. Где нестыковка?
«Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы, но потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий». © Козьма Прутков
отредактировал(а) Valery Z: 2022-12-14 00:55 GMT
#53931 Valery Z :#53927 Lucas :#53922 givigudze :Valery Z Только через интегралы. Да есть некий центр (ось) относительно которой тело вращается. Но с каждым изменением эта ось тоже будет смещаться.
Я сразу сказал, что задача не простая — сродни задачи на расчет чашечного осадкомера.
Да есть статическое состояние в котором будет равновесие. Но равновесие же всех сил — и силы тяжести приложенной с определенным плечом (нам не известным) к стальной пластине.
я решал относительно левого края, полагая что плечо сил тяжести не меняется, ввиду малых углов, а плечо сил архимеда должно быть на том же расстоянии.
Плечо на том же расстоянии — это на каком?
У меня получилась интересная закономерность. Утяжелил пластину в 2 раза — увеличилось плечо сил Архимеда относительно ц. масс и увеличился угол крена в 2 раза.
Вообще по логике вещей, раз линия раздела погружённого объёма делит этот объём пополам, значит она должна проходить через его центр, но получается что не проходит. Где нестыковка?
«раз линия раздела погружённого объёма делит этот объём пополам, значит она должна проходить через его центр, но получается что не проходит» это неверное утверждение. Для примера посчитайте взаимное расположение центра масс и линии делящей объемы пополам. Центр масс будет на 2а, а равнообъемность на 3a*sqr(2)/2 примерно 2,21 а.
#53860 givigudze :Дак это надо через интегралы найти центр тяжести ? Блин, задача становится довольно сложной — как расчитать ковшовый осадкомер.
Можно без интегралов.
#53861 givigudze :Ну тогда начнем. Я вижу так.
Сила Архимеда — она одна. Это равнодействующая сил давления жидкости на тело и приложена она в центре погруженного объёма. А то, что вы изобразили синими стрелочками — это как раз попытка изобразить силы давления жидкости на тело.
#53863 Valery Z :нужно сначала найти угол крена
Не крена, а дифферента.
#53866 Lucas :вообще задача задумывалась как не требующая интрегрального исчисления. мне понадобились только данные по расчету ц.м. треугольника (пересечение медиан) и прямоугольника (пересечение диагоналей). но я могу ошибаться конечно...
Вы правы. Этого достаточно.
#53943 Lucas :#53931 Valery Z :#53927 Lucas :#53922 givigudze :Valery Z Только через интегралы. Да есть некий центр (ось) относительно которой тело вращается. Но с каждым изменением эта ось тоже будет смещаться.
Я сразу сказал, что задача не простая — сродни задачи на расчет чашечного осадкомера.
Да есть статическое состояние в котором будет равновесие. Но равновесие же всех сил — и силы тяжести приложенной с определенным плечом (нам не известным) к стальной пластине.
я решал относительно левого края, полагая что плечо сил тяжести не меняется, ввиду малых углов, а плечо сил архимеда должно быть на том же расстоянии.
Плечо на том же расстоянии — это на каком?
У меня получилась интересная закономерность. Утяжелил пластину в 2 раза — увеличилось плечо сил Архимеда относительно ц. масс и увеличился угол крена в 2 раза.
Вообще по логике вещей, раз линия раздела погружённого объёма делит этот объём пополам, значит она должна проходить через его центр, но получается что не проходит. Где нестыковка?
«раз линия раздела погружённого объёма делит этот объём пополам, значит она должна проходить через его центр, но получается что не проходит» это неверное утверждение. Для примера посчитайте взаимное расположение центра масс и линии делящей объемы пополам. Центр масс будет на 2а, а равнообъемность на 3a*sqr(2)/2 примерно 2,21 а.
2а — это ц. масс чего?
«Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы, но потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий». © Козьма Прутков
#53871 Lucas :Какой угол у Вас получился?
у меня тангенс 3/32
Отлично!!!
(Точнее, конечно, \(arctg \frac {3} {32}\) ).
#53874 Lucas :Я думаю более правильно говорить о центре масс погруженной части.
Более правильно — о центре объёма погруженной части.
#53880 Valery Z :Плоскость, которая делит погружённый объём на 2 равных объёма проходит через его ц. масс.
Только в том случае, когда тело однородно (по всему оъёму одинаковая плотность). Только при таком условии центр масс и центр объёма совпадают.
#53886 Lucas :Есть… центр масс сил архимеда.
Нет такого. Есть точка приложения силы Архимеда. Этой точкой является центр погруженного объёма.
#53899 Valery Z :Про вертикаль, через которую проходят два ц. масс говорил zam в посте 53830, я с ним был несогласен (см. 53838). Но при моделировании процесса получилось, что два ц. масс почти совпали по вертикальной линии. Вообще, они не обязаны совпадать
Обязаны. Если они не находятся на одной вертикали, то создают поворачивающий момент, заставляющий тело изменять угол наклона до тех пор, пока эти центры не окажутся на одной вертикали.
В статике эти центры на одной вертикале всегда.
#53946 zam :#53863 Valery Z :нужно сначала найти угол крена
Не крена, а дифферента.
Это как посмотреть на брусок...
Хотя, если пластину прицепили на торец, а не на боковину, тогда — да.
«Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы, но потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий». © Козьма Прутков
#53951 zam :#53880 Valery Z :Плоскость, которая делит погружённый объём на 2 равных объёма проходит через его ц. масс.
Только в том случае, когда тело однородно (по всему оъёму одинаковая плотность). Только при таком условии центр масс и центр объёма совпадают.
В данном случае можно считать, что жидкость однородна.
А брусок — нет. Тогда нужно писать примерно так — «центр масс жидкости, вытесненной плавающим телом». Долго и малопонятно.
«Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы, но потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий». © Козьма Прутков
отредактировал(а) zam: 2022-12-14 15:37 GMT
#53953 zam :#53899 Valery Z :Про вертикаль, через которую проходят два ц. масс говорил zam в посте 53830, я с ним был несогласен (см. 53838). Но при моделировании процесса получилось, что два ц. масс почти совпали по вертикальной линии. Вообще, они не обязаны совпадать
Обязаны. Если они не находятся на одной вертикали, то создают поворачивающий момент, заставляющий тело изменять угол наклона
Здесь, как раз и создаётся поворачивающий момент за счёт плеча (= 0,12 а). Если бы центры совпадали, то сила Архимеда действовала вертикально на ц. масс бруска+пластины, который остался бы в горизонтальном положении.
до тех пор, пока эти центры не окажутся на одной вертикали.
В статике эти центры на одной вертикале всегда.
«Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы, но потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий». © Козьма Прутков
Полное решение.
Есть брусок из материала плотностью \(\rho\) , длиной \(L\), высотой \(h\) , шириной \(b\) .
Масса бруска \(M= \rho Lhb\).
К нему на торец приклеивается тонкая пластина массой \(m\) .
Найти угол наклона плавающего бруска \(\varphi \) .
Величина погруженного объёма: \(V_{pogr}=\left ( u-\frac{L}{2}tg\varphi \right )Lb \) .
Сила тяжести равна архимедовой силе: \(\left ( M+m \right )g=\rho _{воды}V_{pogr}g \) .
Отсюда: \(u= \frac{M+m}{\rho _{воды}Lb}+\frac{L}{2}tg\varphi\) .
Х-координата центра массы: \(X _{цм}=L\frac{\frac{M}{2}+m}{M+m}cos\varphi \) .
Х-координата центра погруженного объёма (это я просто списал вот отсюда: https://mir-logiki.ru/wp-content/uploads/3/6/5/3652cdb178b212e40fb926ed3fc276d1.jpg ):
\(X_{цо}=\frac{L}{3}\left ( \frac{3u — L tg\varphi}{2u — L tg\varphi} \right ) cos \varphi\)
Центры на одной вертикали, то есть \(X_{цм}=X_{цо}\) .
Отсюда
\(tg\varphi =\frac{u}{L}\frac{6m}{M+4m} \)
Подставляем сюда выражение для \(u\) и получаем:
\(tg\varphi =\frac{6m}{ \rho _{воды}L^2b }\)
Обратите внимание! Угол наклона не зависит ни от массы бруска, ни от его высоты.
Теперь подставим данные из начальной формулировки задачи.
\(L=4a\\b=a\\m=\frac{M}{4}=\frac{\rho _{vodu} a^3}{4} \)
Получаем
\(tg\varphi =\frac{3}{32}\) .
Угол \(\varphi \) приблизительно равен 5.36 градусов.
Хотелось бы узнать что такое центр объема и как его посчитать. В школе как минимум не считают центр объема. А в ВУЗе мы не решали задачи на силу Архимеда и вообще жидкостями не занимались — к примеру.
#53962 givigudze :Хотелось бы узнать что такое центр объема и как его посчитать.
https://studopedia.ru/25_68768_tsent-ob-ema-i-tsentr-poverhnosti-tela.html
Как посчитать: \(\overrightarrow{r_{ц.о.}}=\frac{ \int_{V}^{} \overrightarrow{r}dV}{ \int_{V}^{} dV}\) .
#53958 zam :Полное решение.
Есть брусок из материала плотностью \(\rho\) , длиной \(L\), высотой \(h\) , шириной \(b\) .
Масса бруска \(M= \rho Lhb\).
К нему на торец приклеивается тонкая пластина массой \(m\) .
Найти угол наклона плавающего бруска \(\varphi \) .
Величина погруженного объёма: \(V_{pogr}=\left ( u-\frac{L}{2}tg\varphi \right )Lb \) .
Сила тяжести равна архимедовой силе: \(\left ( M+m \right )g=\rho _{воды}V_{pogr}g \) .
Отсюда: \(u= \frac{M+m}{\rho _{воды}Lb}+\frac{L}{2}tg\varphi\) .
Х-координата центра массы: \(X _{цм}=L\frac{\frac{M}{2}+m}{M+m}cos\varphi \) .
Х-координата центра погруженного объёма (это я просто списал вот отсюда: https://mir-logiki.ru/wp-content/uploads/3/6/5/3652cdb178b212e40fb926ed3fc276d1.jpg ):
\(X_{цо}=\frac{L}{3}\left ( \frac{3u — L tg\varphi}{2u — L tg\varphi} \right ) cos \varphi\)
Центры на одной вертикали, то есть \(X_{цм}=X_{цо}\) .
Отсюда
\(tg\varphi =\frac{u}{L}\frac{6m}{M+4m} \)
Подставляем сюда выражение для \(u\) и получаем:
\(tg\varphi =\frac{6m}{ \rho _{воды}L^2b }\)
Обратите внимание! Угол наклона не зависит ни от массы бруска, ни от его высоты.
Теперь подставим данные из начальной формулировки задачи.
\(L=4a\\b=a\\m=\frac{M}{4}=\frac{\rho _{vodu} a^3}{4} \)
Получаем
\(tg\varphi =\frac{3}{32}\) .
Угол \(\varphi \) приблизительно равен 5.36 градусов.
Модель в масштабе: - всё же есть небольшое смещение (если точность угла повысить до 5 -6 зн. после запятой, то может сойдётся?).
А почему угол наклона от высоты бруска не зависит? Чем больше высота, тем дальше проекция (на воду) его верхней плоскости смещается от центра масс. Да и сами центры ещё дальше будут разъезжаться в стороны.
«Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы, но потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий». © Козьма Прутков
отредактировал(а) Valery Z: 2022-12-15 01:44 GMT
#53958 zam :Полное решение.
Есть брусок из материала плотностью \(\rho\) , длиной \(L\), высотой \(h\) , шириной \(b\) .
Масса бруска \(M= \rho Lhb\).
К нему на торец приклеивается тонкая пластина массой \(m\) .
Найти угол наклона плавающего бруска \(\varphi \) .
Величина погруженного объёма: \(V_{pogr}=\left ( u-\frac{L}{2}tg\varphi \right )Lb \) .
Сила тяжести равна архимедовой силе: \(\left ( M+m \right )g=\rho _{воды}V_{pogr}g \) .
Отсюда: \(u= \frac{M+m}{\rho _{воды}Lb}+\frac{L}{2}tg\varphi\) .
Х-координата центра массы: \(X _{цм}=L\frac{\frac{M}{2}+m}{M+m}cos\varphi \) .
Х-координата центра погруженного объёма (это я просто списал вот отсюда: https://mir-logiki.ru/wp-content/uploads/3/6/5/3652cdb178b212e40fb926ed3fc276d1.jpg ):
\(X_{цо}=\frac{L}{3}\left ( \frac{3u — L tg\varphi}{2u — L tg\varphi} \right ) cos \varphi\)
Центры на одной вертикали, то есть \(X_{цм}=X_{цо}\) .
Отсюда
\(tg\varphi =\frac{u}{L}\frac{6m}{M+4m} \)
Подставляем сюда выражение для \(u\) и получаем:
\(tg\varphi =\frac{6m}{ \rho _{воды}L^2b }\)
Обратите внимание! Угол наклона не зависит ни от массы бруска, ни от его высоты.
Теперь подставим данные из начальной формулировки задачи.
\(L=4a\\b=a\\m=\frac{M}{4}=\frac{\rho _{vodu} a^3}{4} \)
Получаем
\(tg\varphi =\frac{3}{32}\) .
Угол \(\varphi \) приблизительно равен 5.36 градусов.
здорово вы обобщили. Что скажете по сложности, на каком уровне можно давать решать?
#53970 Valery Z :… всё же есть небольшое смещение...
Еще раз.
Условия равновесия:
1) сумма приложенных к телу сил равна нулю;
2) сумма моментов приложенных к телу сил равна нулю.
В задаче всего две силы — сила тяжести и сила Архимеда. По первому условию они должны быть равны и противоположно направлены. По второму условию они должны действовать вдоль одной линии.
#53975 Lucas :Что скажете по сложности, на каком уровне можно давать решать?
Девятый класс специализированной школы. Областная олимпиада.
Но для олимпиады я бы не рекомендовал. Путь решения очевиден, а промежуточных трудоёмких преобразований слишком много.
А центр тяжести как без интегралов найти ?