Излучение диполей и реальность существования потенциалов

Автор
Сообщение
computer
#51697 2022-09-12 09:47 GMT

Наконец-то я нашел подробности, как излучает электрический и магнитный диполь на дальних расстояниях. Может кому-то пригодится.

Выкладываю формулы в цилиндрической системе координат (ρ,φ,z), r2 = ρ2+ z2, для всех величин ∂/∂φ = 0

Электрический элементарный диполь: заряд колеблется вдоль оси z возле нулевой точки с частотой ω, амплитуда дипольного момента P0

Дипольный момент Pz = P0 · cos(ω·t)

Скалярный потенциал a = P0 / (4·π·ε0) · z / r2 · {1 / r · cos(ω·t - ω/c·r) - ω/c · sin(ω·t - ω/c·r)}

Производная по времени  a' = - P/ (4·π·ε0· ω · z / r2 · {ω/c · cos(ω·t - ω/c·r) + 1 / r · sin(ω·t - ω/c·r)}
Векторный потенциал  Az = - P0 · μ0/(4·π· ω / r · sin(ω·t - ω/c·r)

Производная по времени   Az' = - P0 · μ0/(4·π) · ω2 / r · cos(ω·t - ω/c·r)

div A  = ∂Az/∂z = P0 · μ0/(4·π) · ω · z / r2 · {ω/c · cos(ω·t - ω/c·r) + 1 / r · sin(ω·t - ω/c·r)}
a' = - c2 · div A

Градиент скалярного потенциала

∂a/∂ρ = P/ (4·π·ε0) · ρ · z / r3 · {(ω2/c2 - 3 / r2) · cos(ω·t - ω/c·r) + ω/c · 3 / r · sin(ω·t - ω/c·r)}
∂a/∂z = P/ (4·π·ε0) / r2 · {1 / r · (ω2/c2 · z2 + 1 - 3 · z2 / r2) · cos(ω·t - ω/c·r) + ω/c · (3 · z2 / r2 - 1) · sin(ω·t - ω/c·r)}

Вектор магнитной индукции
Bφ = - ∂Az/∂ρ = - P0 · μ0/(4·π) · ω · ρ / r2 · {ω/c · cos(ω·t - ω/c·r) + 1 / r · sin(ω·t - ω/c·r)}

Вектор электрической напряжённости
Eρ = - ∂a/∂ρ = - P/ (4·π·ε0) · ρ · z / r3 · {(ω2/c2 - 3 / r2) · cos(ω·t - ω/c·r) + ω/c · 3 / r · sin(ω·t - ω/c·r)}
Ez = - Az' - ∂a/∂z = P/ (4·π·ε0) / r · {(ω2/c2 · ρ2 / r2 - 1 / r2 + 3 · z2 / r4) · cos(ω·t - ω/c·r) + ω/c / r · (1 - 3 · z2 / r2) · sin(ω·t - ω/c·r)}

Производная по времени Bφ' = - P0 · μ0/(4·π) · ω2 · ρ / r2 · {1 / r · cos(ω·t - ω/c·r) - ω/c · sin(ω·t - ω/c·r)}

Кольцевой ротор электрической напряжённости ∂Eρ/∂z - ∂Ez/∂ρ = P/ (4·π·ε0) · ω2/c2 · ρ / r2 · {1 / r · cos(ω·t - ω/c·r) -ω/c · sin(ω·t - ω/c·r)}
Bφ' = - (∂Eρ/∂z - ∂Ez/∂ρ), как и должно быть в уравнениях электромагнитного поля

div E = ∂Eρ/∂ρ + Eρ / ρ + ∂Ez/∂z = 0 (проверено мной)

Ток смещения

Jρ = - 1/μ0 · ∂Bφ/∂z = - P0 / (4·π) · ω · ρ · z / r3 · {ω/c · 3 / r · cos(ω·t - ω/c·r) - (ω2/c2 - 3 / r2) · sin(ω·t - ω/c·r)}
Jz = 1 / μ0 · (∂Bφ/∂ρ + Bφ / ρ) = P/ (4·π) · ω / r · {ω/c / r · (1 - 3 · z2 / r2) · cos(ω·t - ω/c·r) - (ω2/c2 · ρ2 / r2 - 1 / r2 + 3 · z2 / r4) · sin(ω·t - ω/c·r)}

Производные по времени

Eρ' = - P/ (4·π·ε0) · ω · ρ · z / r3 · {ω/c · 3 / r · cos(ω·t - ω/c·r) - (ω2/c2 — 3 / r2) · sin(ω·t - ω/c·r)} = Jρ/ε0
Ez' = P/ (4·π·ε0) · ω / r · {ω/c / r · (1 - 3 · z2 / r2) ·  cos(ω·t - ω/c·r) - (ω2/c2 · ρ2 / r2 - 1 / r2 + 3 · z2 / r4) · sin(ω·t - ω/c·r)} = Jz/ε0

как и должно быть в уравнениях электромагнитного поля

Магнитный диполь и примечания выложу в следующих постах, чтобы первый не был слишком большим.


отредактировал(а) computer: 2022-09-20 13:14 GMT
diver12
#51700 2022-09-12 11:01 GMT

deleted

Причина: флуд.


отредактировал(а) zam: 2022-09-12 15:25 GMT
computer
#51705 2022-09-12 15:20 GMT

Магнитный диполь, кольцевой ток с малым радиусом R меняет направление по периодическому закону.

Магнитный момент направлен вдоль оси z: Mz = M0 · cos(ω·t), где M0 = π · R2 · I0, I0 амплитуда тока 

Векторный потенциал Aφ = M0 · μ0/(4·π) · ρ / r2 · {1 / r · cos(ω·t - ω/c·r) — ω/c · sin(ω·t - ω/c·r)}

Напряжённость электрического поля

Eφ = - Aφ' = M0 · μ0/(4·π) · ω · ρ / r2 · {ω/c · cos(ω·t - ω/c·r) + 1 / r · sin(ω·t - ω/c·r)}

Производная по времени

Eφ' = M0 · μ0/(4·π) · ω2 · ρ / r2 · {1 / r · cos(ω·t - ω/c·r) - ω/c · sin(ω·t - ω/c·r)}

Магнитная индукция

Bρ = - ∂Aφ/∂z = - M0 · μ0/(4·π) · ρ · z / r3 · {(ω2/c2 - 3 / r2) · cos(ω·t - ω/c·r) + ω/c · 3 / r · sin(ω·t - ω/c·r)}

Bz = ∂Aφ/∂ρ + Aφ / ρ = M0 · μ0/(4·π) / r2 · {(ω2/c2 · ρ2 / r + 2 / r - 3 · ρ2 / r3) · cos(ω·t - ω/c·r) - ω/c · (2 - 3 ·ρ2 / r2) · sin(ω·t - ω/c·r)}

Производные по времени

Bρ' = - M0 · μ0/(4·π) · ω · ρ · z / r3 · {ω/c · 3 / r · cos(ω·t - ω/c·r) - (ω2/c2 - 3 / r2) · sin(ω·t - ω/c·r)} = - (- ∂Eφ/∂z)

Bz' = - M0 · μ0/(4·π) · ω / r2 · {ω/c · (2 - 3 · ρ2 / r2) · cos(ω·t - ω/c·r) + (ω2/c2 · ρ2 / r + 2 / r - 3 · ρ2 / r3) · sin(ω·t - ω/c·r)} = - (∂Eφ/∂ρ + Eφ / ρ)

Ток смещения

Jφ = 1/μ0 · (∂Bρ/∂z - ∂Bz/∂p) = M0 · μ0/(4·π) · ω2/c2 · ρ / r2 · {1 / r · cos(ω·t - ω/c·r) - ω/c · sin(ω·t - ω/c·r)}

Eφ' = Jφ0 (проверено мной)


отредактировал(а) computer: 2022-09-20 20:01 GMT
computer
#51842 2022-09-20 13:33 GMT

Примечания:

1. Поскольку r2 = ρ2+ z2, возможна разная запись выражений для ρ и z. Например, 2 - 3 · ρ2 / r2 = 3 · z2 / r2 - 1

2. Хотя дивергенция электрического поля div E везде равна нулю (плотность заряда нулевая), для описания излучения электрического диполя необходим скалярный потенциал a. Для выражения его производной по времени необходим векторный потенциал A. На дальних расстояниях нет речи о «запаздывающих» потенциалах принудительно колеблющейся системы, волны должны распространяться «самостоятельно». Напрашивается вывод, что потенциалы это объективная физическая реальность, фундаментальные поля, не математические абстракции. Для описания дипольного излучения достаточно трёх фундаментальных полей:

a' = - c2 · div A

A' = - E - grad a

E' = c2 · rot rot A

При этом лапласиан div grad (a) принципиально отличается от локальной плотности заряда ε· div E, это разные величины. Лапласиан скалярного потенциала в излучении электрического диполя может быть локально не равен нулю, в отличие от дивергенции электрического поля. Формально обе эти величины «сохраняются», так как можно выразить их производные по времени как минус дивергенцию некоторого известного «потока». Но применительно к диполю лапласиан скалярного потенциала сохраняется только глобально, когда в одну сторону вдоль оси z излучается положительная плотность, в обратном такая же по модулю отрицательная. Нельзя сказать, что скалярный потенциал имеет существенную величину только в ближней зоне принудительной генерации и запаздывающих потенциалов. В дальней волновой зоне его интенсивность, как и производной по времени, убывает пропорционально 1 / r, то же самое касается градиента в некоторых направлениях.

3. Напряжённости электрического и магнитного поля убывают в среднем с расстоянием как 1 / r, соответственно плотность энергии убывает как 1 / r2. То есть, интеграл плотности энергии по всему пространству бесконечный, и элементарные диполи нельзя использовать как основу для представления полевых объектов с конечной энергией. Чем дольше работает излучатель, тем больше энергии теряет с волнами, и так до бесконечности.


отредактировал(а) computer: 2022-09-20 16:25 GMT