О числах, множествах, о математике и математиках

Привет всем!

   Я решил обновить школьный курс математики. Полистал вику:
https://ru.wikipedia.org/wiki/Натуральное_число
https://ru.wikipedia.org/wiki/Рациональное_число
https://ru.wikipedia.org/wiki/Иррациональное_число
https://ru.wikipedia.org/wiki/Вещественное_число
https://ru.wikipedia.org/wiki/Трансцендентное_число
https://ru.wikipedia.org/wiki/Алгебраическое_число
https://ru.wikipedia.org/wiki/Комплексное_число

   И пришёл в негодование!!!
Что за чушь про счётные множества и рациональные числа, которые якобы можно пронумеровать???

Цитата:" Множество рациональных чисел располагается всюду плотно на числовой оси: между любыми двумя различными рациональными числами расположено хотя бы одно рациональное число (а значит, и бесконечное множество рациональных чисел). Тем не менее, оказывается, что множество рациональных чисел имеет счётную мощность (то есть все его элементы можно перенумеровать). Со времён древних греков известно о существовании чисел, не представимых в виде дроби: они доказали в частности, что корень из 2 — не рациональное число. Недостаточность рациональных чисел для выражения всех величин привела в дальнейшем к понятию вещественного числа. В отличие от множества вещественных чисел (которое соответствует одномерному пространству), множество рациональных чисел имеет меру нуль. "

Просто бесит эта смесь заумствований и идиотизма!
Доказательство того, что рациональные числа пронумеровать нельзя:

имеем рациональные числа Q = { m / n };
https://ru.wikipedia.org/wiki/Рациональное_число

утверждается «что множество рациональных чисел имеет счётную мощность (то есть все его элементы можно перенумеровать).»
https://ru.wikipedia.org/wiki/Счётное_множество

выберем соответствие (биекцию) для { m / n } в N — натуральный ряд:
{ m / n } -> { m * n }
Например: 15/2 -> 15*2 = 30
Однако, 2/15 -> 2*15 = 30
получается взаимное наслоение элементов множеств.
Извините, но рациональные числа никак нельзя посчитать.

Неверно, что" множество рациональных чисел имеет меру нуль. "
Оно имеет меру 2.

Вот смотрите — объясняю как программист.
Натуральные или целые числа требуют для хранения 1 ячейку памяти.
Рациональное число — требует 2 ячейки памяти { m, n }. Можно хранить отдельно числитель и знаменатель. Можно хранить отдельно целую и дробную части. Однако компьютеры хранят отдельно мантиссу и порядок числа:
https://ru.wikipedia.org/wiki/Число_с_плавающей_запятой

https://ru.wikipedia.org/wiki/Иррациональное_число
А иррациональные числа, такие как корень из 2, можно представить в виде { a ^ b }, где a и b — рациональные числа { m, n }. Мощность такого представления = 2*2 = 4 — ячейки памяти;

https://ru.wikipedia.org/wiki/Трансцендентное_число
А трансцендентные числа, можно представить в комплексной форме z = x + i*y, где i = корень из -1.
https://ru.wikipedia.org/wiki/Комплексное_число
Мощность такого представления {m, n} * {a,b} * {x,y} = 2*2*2 = 8 — ячеек памяти;

Несложно?

Или я не прав?

Александр. Я тоже начинал писать в машинном коде на PDP-11.

Основание системы счисления не влияет на точность рассчётов в целых числах.

Однако плавающая точка действительно даёт известную погрешность — EPSILON_FLOAT или EPSILON_DOUBLE.

#67532 zam :

Вы нашли ошибку в доказательстве счётности множества рациональных чисел?

Приведите пожалуйста это доказательство — посчитайте рациональные числа — где это всё доказано, кем и когда?

#67541 zam :

где это всё доказано, кем и когда?

В Германии, Георгом Кантором, в конце 19 века.

Сердечно благодарю!

Свёртка Кантора для множеств чисел