Распределение зарядовой плотности вокруг сжатой сферы

Если кому интересно, я пытался решить задачу, каким будет распределение равномерной зарядовой плотности бесконечной зарядовой плотности, если сжать сферическую область этой взарядовой плотности от радиуса R до радиуса R`
Вот решение, очень интеесо Ваше мнение по правильности рассуждения и самого решения

### Решение задачи о распределении зарядовой плотности за пределами сжатой сферы

Имеется система, в которой изначально присутствует **бесконечная равномерная объемная зарядовая плотность** \( \rho_0 \). Внутри этого объема выделяется сферический участок радиуса \( R \), который затем **сжимается** до радиуса \( R' \). В результате сжатия:

1. **Внутри сжатой сферы радиуса \( R' \)** зарядовая плотность увеличивается, и появляется дополнительный заряд, который обозначим как \( \Delta Q \).
2. **За пределами сферы радиуса \( R' \)** зарядовая плотность уменьшается, чтобы компенсировать увеличение плотности внутри сферы.

Задача заключается в том, чтобы найти распределение зарядовой плотности \( \rho® \) за пределами сферы радиуса \( R' \) и определить нормировочный коэффициент для этого распределения.

### 1. Количество добавленного заряда внутри сжатой сферы

**Добавленный заряд \( \Delta Q \)** внутри сжатой сферы равен разности объемов исходной сферы радиуса \( R \) и сжатой сферы радиуса \( R' \), умноженной на начальную зарядовую плотность \( \rho_0 \):

\[
\Delta Q = \rho_0 \cdot \left( \frac{4}{3} \pi R^3 — \frac{4}{3} \pi R'^3 \right)
\]

Или, упрощённо:

\[
\Delta Q = \rho_0 \cdot \frac{4}{3} \pi (R^3 — R'^3)
\]

### 2. Баланс двух давлений

В этой системе взаимодействуют два типа давления:
1. **Общее давление зарядовой плотности** \( P_{\rho_0} \), создаваемое равномерной плотностью \( \rho_0 \), которое действует на воображаемые сферы радиуса \( r > R' \) за пределами сжатой области.
2. **Электростатическое давление \( P_{\text{эл}}® \)**, которое возникает из-за дополнительного заряда \( \Delta Q \), заключённого внутри сферы радиуса \( R' \), и воздействует на окружающие заряды.

#### Почему \( P_{\text{эл}}® \propto 1/r^4 \):

Электростатическое давление связано с напряжённостью электрического поля \( E® \), создаваемого дополнительным зарядом \( \Delta Q \). Напряженность поля от заряда \( \Delta Q \) на расстоянии \( r \) от центра сферы распределяется как:

\[
E® = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\Delta Q}{r^2}
\]

Так как площадь поверхности сферы радиуса \( r \) пропорциональна \( 4\pi r^2 \), давление на единицу площади \( P® \), создаваемое электростатическим полем, будет пропорционально:

\[
P_{\text{эл}}® \propto \frac{\sigma E®}{2}
\]

где \( \sigma \) — поверхностная плотность заряда, а \( E® \) — напряженность электрического поля. Учитывая, что \( E® \proпорционально 1/r^2 \), и площадь сферы растет как \( r^2 \), электростатическое давление на заряды будет убывать как \( 1/r^4 \). Именно поэтому распределение зарядов за пределами сжатой сферы убывает с расстоянием по закону \( 1/r^4 \).

### 3. Формула для уменьшения зарядовой плотности

Исходя из предыдущего рассуждения, изменение зарядовой плотности за пределами сферы радиуса \( R' \) можно записать как:

\[
\Delta \rho® = \frac{C \cdot \Delta Q}{r^4}
\]

где \( C \) — нормировочный коэффициент, который нужно найти.

### 4. Закон сохранения заряда

Общее количество уменьшенной зарядовой плотности за пределами сферы радиуса \( R' \) должно быть равно количеству заряда, добавленного внутрь сжатой сферы \( \Delta Q \). Это условие можно записать так:

\[
\int_{R'}^{\infty} \Delta \rho® \cdot 4 \pi r^2 \, dr = \Delta Q
\]

Подставим выражение для \( \Delta \rho® = \frac{C \cdot \Delta Q}{r^4} \):

\[
\int_{R'}^{\infty} \frac{C \cdot \Delta Q}{r^4} \cdot 4 \pi r^2 \, dr = \Delta Q
\]

### 5. Интегрирование

Вынесем константы \( C \cdot \Delta Q \) и \( 4 \pi \) за знак интеграла:

\[
4 \pi C \cdot \Delta Q \int_{R'}^{\infty} \frac{1}{r^2} \, dr = \Delta Q
\]

Вычислим интеграл:

\[
\int_{R'}^{\infty} \frac{1}{r^2} \, dr = \frac{1}{R'}
\]

Теперь уравнение принимает вид:

\[
4 \pi C \cdot \Delta Q \cdot \frac{1}{R'} = \Delta Q
\]

### 6. Нахождение нормировочного коэффициента \( C \)

Сокращаем обе стороны уравнения на \( \Delta Q \) и решаем относительно \( C \):

\[
4 \pi C \cdot \frac{1}{R'} = 1
\]

Решаем для \( C \):

\[
C = \frac{R'}{4 \pi}
\]

### 7. Итоговое распределение зарядовой плотности за пределами сферы

Теперь, зная нормировочный коэффициент \( C \), можем записать окончательную формулу для распределения зарядовой плотности за пределами сжатой сферы:

\[
\Delta \rho® = \frac{R' \cdot \Delta Q}{4 \pi r^4}
\]

Подставляем \( \Delta Q = \rho_0 \cdot \frac{4}{3} \pi (R^3 — R'^3) \):

\[
\Delta \rho® = \frac{R' \cdot \rho_0 \cdot \frac{4}{3} \pi (R^3 — R'^3)}{4 \pi r^4}
\]

Упрощаем:

\[
\Delta \rho® = \frac{\rho_0 \cdot R' (R^3 — R'^3)}{3 r^4}
\]

### Заключение:

1. **Внутри сжатой сферы радиуса \( R' \)** зарядовая плотность увеличивается на величину \( \Delta Q \), равную разнице объемов двух сфер, умноженной на \( \rho_0 \).
2. **За пределами сферы радиуса \( R' \)** зарядовая плотность уменьшается по закону \( 1/r^4 \) из-за взаимодействия между электростатическим давлением и давлением исходной плотности.
3. Нормировочный коэффициент \( C \) определяется через закон сохранения заряда, и уменьшение плотности за пределами сферы компенсирует добавление заряда внутри сжатой сферы.

#67512 zam :

Тема перенесена в раздел «Альтернативные теории».

Причина: Это не электродинамика.

Я конечно очень сильно извиняюсь, но в названии темы «Электродинамика» указано дословно: «Вопросы связанные с электричеством, магнитным полем и т.д.». Разве распределение зарядовой плотности не связано с вопросом об электричестве? Какое отношение эта задача имеет к альтернативным теориям? В полне стандартная задача из электростатики, которая затем переходит в задачу по электродинамике, если далее рассмотреть скорость изменение зарядовой плотности при движении сферы с дополнительной зарядовой плотностью. Здесь нет ни какой «альтернативщины», вполне классическая задача, решения которой я кстати не нашел в открытых источниках. Может Вы подскажете где можно посмотреть решение?

#67522 Vadim :

Вы кстати обещали формулу определяющую «концентрацию» виртуальных фотонов в зависимости от расстояния от заряда. Не нашли?

Не нашёл. Вопрос оказался значительно более сложным, чем я предполагал.