Перекатывание цилиндра в цилиндре

#61934 Seva :

В нижней точке полого цилиндра находится другой цилиндр массой m, который начинает движение со скоростью v_s0. Надо определить максимальный угол отклонения внутреннего цилиндра Ф.

В принципе задачу я решил.

У меня получилось \(\Phi =2arcsin\frac{v_{s0}}{2\sqrt{g\left ( R-r \right )}}\) . А у вас?

Просто выяснилось, что масса m никак не влияет на ответ. Или я не прав?

Вы правы. Также, как и максимальная высота подбрасываемого камня не зависит от массы камня, а зависит только от его начальной скорости.

Как я решал.

Если в ваш и мой варианты подставить любые численные значения (например, R = 0,5, r = 0,25, v_s0 = 1, g = 9,81), то получатся одинаковые ответы, 37,24⁰. Но самое интересное, что университетская система пишет, что ответ неверен. И предлагает варианты: Φ= 64, 23⁰, Φ= 51, 85⁰, Φ= 38, 12⁰, Φ= 46, 04⁰.

#62899 Seva :

Если в ваш и мой варианты подставить любые численные значения (например, R = 0,5, r = 0,25, v_s0 = 1, g = 9,81), то получатся одинаковые ответы, 37,24⁰. 

Естественно. Потому что \(arccosx=2arcsin\sqrt{\frac{1-x}{2}}\) .

Но самое интересное, что университетская система пишет, что ответ неверен. И предлагает варианты: Φ= 64, 23⁰, Φ= 51, 85⁰, Φ= 38, 12⁰, Φ= 46, 04⁰.

А это потому, что мы оба ошиблись. Причём одинаково.

Закон сохранения энергии (изменение кинетической энергии) = (изменение потенциальной энергии):

\(\frac{mv_{s0}^2}{2}+\frac{J\omega _0^2}{2}=mgh\) .

Здесь \(J=\frac{mr^2}{2}\)  — момент инерции цилиндра,

\(\omega _0=\frac{v_{s0}}{r}\)   — начальная угловая скорость цилиндра.

Отсюда 

\(h=\frac{3v_{s0}^2}{4g} \\cos\Phi =\frac{4g(R-r)-3v_{s0}^2}{4g(R-r)} \\\Phi =arccos\frac{4g(R-r)-3v_{s0}^2}{4g(R-r)} =2arcsin\frac{v_{s0}}{2\sqrt{\frac{2}{3}g(R-r)}}=46.037^\circ \)

Четвёртый ответ.