энергетический метод расчета периода гармонических колебаний

#59036 Раф :

У меня не получилось ее таким образом решить.

Давайте решим эту задачу по предложенной методике.

Пусть состояние системы характеризуется координатой x – смещением верхнего конца пружины от её свободного положения.

Тогда смещение груза равно  \(y=\frac{l}{L}x \) .

Найдём полную энергию системы:  \(W=\frac{m\left ( \dot{y} \right )^2}{2}+mgy+\frac{kx^2}{2}=\frac{m\frac{l^2}{L^2}\dot{x}^2}{2}+mg\frac{l}{L}x+\frac{kx^2}{2}\)  .

Находим производную этой величины по времени и приравниваем её к нулю:  \(\dot{W}=\frac{ml^2}{2L^2}2\dot{x}\ddot{x}+\frac{mgl}{L}\dot{x}+\frac{k}{2}2x\dot{x}=0 \) .

Вынесем за скобки  \(m\frac{l^2}{L^2} \dot{x}\):  \(m\frac{l^2}{L^2}\dot{x}\left ( \ddot{x}+\frac{gL}{l}+\frac{kL^2}{ml^2} \right )=0 \) .

Отсюда  \(m\frac{l^2}{L^2}\dot{x}=0 \) или \(\ddot{x}+\frac{gL}{l}+\frac{kL^2}{ml^2}x=0 \) .

Первый вариант не интересен.

Согласно второму варианту, множитель при х — это квадрат круговой частоты колебаний:  \(\frac{kL^2}{ml^2}=\omega _0^2 \)

Период колебаний:  \(T=\frac{2\pi }{\omega _0}=2\pi \frac{l}{L}\sqrt{\frac{m}{k}}\) .

Там в решении идет решение буз учета работы силы тяжести. ОДИН ВОПРОС: ПОЧЕМУУУУУ?????

В той задаче стержень совершает колебания в горизонтальной плоскости, груз не поднимается и не опускается. Естественно, сила тяжести работы не совершает. (Художник иллюстрацию к задаче нарисовал неправильно).