Сочинил задачу на силу Архимеда. Тестирую сложность. Налетай!

В школе учат что нужно проткнуть тело вставить в отверстие иголку со строительным отвесом, по линии отвеса нарисовать линию на теле. Так же проделать в разных точках.

В точке пересения линий будет центр тяжести.   Мы искали центр тяжести у плоских фигур.   Центр тяжести однородного круга, цилиндра, стержня, прямоугольной пластины — вполне можно найти.

Но что делать с тело с переменной плостностью — как в данной задаче.

m=M/4=ρ_водыа³/4 -  ошибки нет?

С составными телами  поиска центра тяжести не делали. Только из картона вырезали всякие фигурки сложной формы и с отвесом чертили на них линии — искали центр тяжести.

По формулам — ничего не понял, а как учитывается масса прикленной идеально тонкой пластины ?  Ну впринципе то такая же задача как с молотком.

Что такое  m=M/4    откуда ?  У нас есть брусок с приклееной пластиной. Почему делим на 4 ?  что за m,  M  ?

НУ еще скажите что если плотность меняется по кубическому закону от одно края к другому, то тоже можно без интегралов найти центр тяжести ? 

Либо есть какое-то правило в теории рычага, что можно упростить тело одинаковой плотности   и составные тела,   либо я чего-то не понимаю.  

Формулы нахождения центра масс системы тел я не знал.   Спасибо, буду знать. Что-то подобное я предпологал. 

А с m  M  ,  чего то сразу не понял, я думал это расчет нахождения центра масс.

Ну теперь понятно, что задача решаемая для школьника.  Я бы и когда учился  в ВУЗе не решил. 

#54042 Valery Z :

Не всё так однозначно получается.

Ошибаетесь. В данной задаче всё однозначно.

В процессе обсуждения задачи фигурировали и центры масс бруска с пластиной, и центры масс погружённого объёма бруска, и центры погружённого объёма, но до конца так и не было определено единых формулировок.

Определения всех этих терминов есть во вполне доступных источниках.

Для бруска с пластиной, наверное правильным будет ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ (не центр масс), т.к. по объёму его плотность не однородна.

Если гравитационное поле однородно, то центр масс и центр тяжести — это одно и то же.

Для погружённой части бруска договорились о ЦЕНТРЕ ПОГРУЖЁННОГО ОБЪЁМА. И если для установления равновесия должно выполняться условие, чтобы центр тяжести бруска+пластины находился на одной вертикали с центром погружённого объёма, тогда получается, что угол 5,36 гр. не правильный (см. рисунок).

Правильный.

Для проверки пробовал доказать равенство (Хцм = Хцо), но не получилось.

Это равенство доказывать не нужно. Это просто условие равновесия (суммарный вращающий момент приложенных к телу сил равен нулю)..

Модель в масштабе

Это моделирование так же бессмысленно, как проверка теоремы Пифагора при помощи линейки и транспортира. Проверяйте аналитические выкладки. Ведь задача имеет чёткое аналитическое решение.

Вот что получилось:
Всё таки, взял «не центр объёма», а «центр масс объёма». Нашёлся угол, при котором центр масс объёма совпал с центром масс бруска+пластины. Угол получился 5,72^о.
Взял формулы Хцм и Хцо, подставил новые значения, отталкиваясь от угла 5,72^о, в том числе и значение «u». Всё сошлось идеально, но не по общей оси ОХ, а у каждого центра получилась привязка к индивидуальному началу координат (см. рис.). Такие совпадения, думаю, случайно не бывают. Можете посчитать сами.
Удобный онлайн калькулятор: https://matematika-club.ru/kosinus-onlajn-kalkulyator

#54069 Valery Z :

взял «не центр объёма», а «центр масс объёма». 

Нет такого понятия — «центр масс объёма».

#54070 zam :

#54061 Valery Z :

Он правильный, но с совпадением по вертикали что-то не так. 

Который уже день вы занимаетесь чушью. Вместо того, чтобы сесть и подумать, вы мучаете компьютер.

Приходится за вас исправлять огрехи.
Удивительно, что вы не видите элементарную ошибку. Формула Хцм находит расстояние от левого торца бруска до центра масс бруска+ пластины (по линии перпендикулярной торцу бруска), а расстояние, помноженное на cos угла показывает проекцию этой линии на поверхность воды. Вот только проекция на вашем графике начинается не в точке начала координат...  Условие равенства: Хцм = Хцо справедливо только для горизонтального положения бруска (когда угол дифферента равен нулю).
С такими расчётами можно и корабль нечаянно потопить.

Где всё же должно быть начало координат?

Где нам удобно — там и выбираем.

Тогда нужно выбирать отдельно для бруска и отдельно для погружённого объёма.

Зачем тогда продувать крыло в трубе?...

Затем, что общее решение системы уравнений Навье-Стокса (одна из семи задач тысячелетия) пока не известно. Не получается всё посчитать.

_{Тут чуть-было не произошла сенсация. В 2014 году казахстанский математик Мухтарбай Отелбаев опубликовал решение этой задачи. Но потом толковые китайские и японские математики нашли дырки в решении, и автор их признал. Чуда не случилось.}

#54142 zam :

#54073 Valery Z :

Формула Хцм находит расстояние от левого торца бруска до центра масс бруска+ пластины (по линии перпендикулярной торцу бруска), а расстояние, помноженное на cos угла показывает проекцию этой линии на поверхность воды.

Как говорил Штирлиц, «А вот с этого надо было начинать».

Вы правы. Формула \(X _{цм}=L\frac{\frac{M}{2}+m}{M+m}cos\varphi\) не точна (является приблизительной, для малых углов \(\varphi\). А как записать точно?

Так у вас всё упрощение построено на равенстве Хцм = Хцо.  Но по факту они не равны (если брать единое начало координат). Поэтому и упрощение нужно пересматривать (мне так кажется). 

#54155 zam :

#54153 Valery Z :

Так у вас всё упрощение построено на равенстве Хцм = Хцо. 

Равенство  \(X_{ц.м.} =X_{ц.о.}\)  — это не упрощение, а закон природы. Упрощением являются приближённые формулы для вычисления этих величин. Вы когда напшите точные?

Пока вы не определитесь — какой центр верный для данного случая, мы так и будем ходить по кругу.
 

#54157 zam :

#54156 Valery Z :

Пока вы не определитесь — какой центр верный для данного случая, мы так и будем ходить по кругу.

Вам уже всё растолковано 100500 раз. Так что, перестаньте ходить по кругу.

 

Вы меня заставили сделать лишнюю работу. Вот ваши высказывания:

53830 :  «Находим центр погруженного объёма бруска (это точка приложения архимедовой силы).»
53841 :  «В данном случае лучше использовать понятие центр объёма. Это такая точка, через которую проходит любая плоскость, делящая объём на две равные части.»
-Посмотрите картинку — пост 54061, — «Центр масс» бруска+пластины не совпадает по вертикали с «Центром погружённого объёма» (при угле 5,36^о). Они совпадут, как уже было показано — пост 54042, при дифференте 3,96^о, но этот угол вам не подходит.
53853 :  «Объём железки — ноль. Поэтому можно только погруженный объём бруска.»
53945 :«Сила Архимеда — она одна. Это равнодействующая сил давления жидкости на тело и приложена она в центре погруженного объёма.»
53950 :  Lucas :Я думаю более правильно говорить о центре масс погруженной части.
«Более правильно — о центре  объёма  погруженной части.»
— Плоскость, проходящая через Центр масс не обязательно должна делить объём пополам (см. рисунок — пост 54156).

#54166 zam :

#54160 Valery Z :

Вы меня заставили сделать лишнюю работу.

Работа совсем не лишняя. Надеюсь, вы узнали много нового. Давайте проверим. Ответьте на вопросы:

1) что является точкой приложения действующей на тело силы тяжести?

2) что является точкой приложения действующей на тело архимедовой силы?

Точкой приложения действующей на тело силы тяжести является Центр масс;
Точкой приложения действующей на тело архимедовой силы является Центр объёма.
А теперь главное:
«Если ОЦТ и ЦОТ находятся на одной вертикали, то в зависимости от со­отношения величин сил тяжести и Архимедовой силы, тело либо всплывает, либо тонет, либо остается неподвижным в воде.
Если ЦОТ и ОЦТ находятся на разных линиях, то возникает момент вращения и потеря равновесия в воде.» - https://studopedia.ru/25_68768_tsent-ob-ema-i-tsentr-poverhnosti-tela.html
Как я понимаю, совпадение по вертикали  Ц.масс и Ц.объёма является условием равновесия — в смысле — равного погружения тела в воду, т.е., без отклонения его от горизонтали. Это равносильно тому, когда под Ц.масс тела подставили опору, вследствие чего оно приняло горизонтальное положение.
Если Ц.масс и Ц.объёма не совпадают по вертикали, то тело уравновешивается под углом к поверхности воды, при этом, сила тяжести создаёт вращающий момент, погружая более тяжёлую часть тела глубже, а Архимедова сила создаёт «противовращающий» момент для этой части тела, действуя на Ц.объёма, расположенный в стороне от Ц.масс, пока не будет найден баланс этих сил.

Попробовал подойти с другой позиции, вот что получилось. 
Можно ли вообще из всего этого получить угол  φ ?

           Если решение задачи считать правильным, т.е., угол φ = 5,36 гр., то нужно доказать, что при этом угле дифферента вертикаль, проходящая через Ц.м. бруска+пластины делит погружённый объём пополам.