Сочинил задачу на силу Архимеда. Тестирую сложность. Налетай!

Автор
Сообщение
zam
#54020 2022-12-18 11:44 GMT
#54016 givigudze :

А центр тяжести как без интегралов найти ? 

Как в школе учат.

 

givigudze
#54026 2022-12-18 15:18 GMT

В школе учат что нужно проткнуть тело вставить в отверстие иголку со строительным отвесом, по линии отвеса нарисовать линию на теле. Так же проделать в разных точках.

В точке пересения линий будет центр тяжести.   Мы искали центр тяжести у плоских фигур.   Центр тяжести однородного круга, цилиндра, стержня, прямоугольной пластины — вполне можно найти.

Но что делать с тело с переменной плостностью — как в данной задаче.

zam
#54028 2022-12-18 16:06 GMT
#54026 givigudze :

В школе учат что нужно проткнуть тело вставить в отверстие иголку со строительным отвесом, по линии отвеса нарисовать линию на теле.

Вот и протыкайте.

Но что делать с тело с переменной плостностью — как в данной задаче.

А центр тяжести молотка (головка стальная, ручка деревянная) не искали?

 

Valery Z
#54029 2022-12-18 16:57 GMT

m=M/4=ρводыа3/4 -  ошибки нет?

«Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы, но потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий». © Козьма Прутков

zam
#54030 2022-12-18 17:25 GMT
#54029 Valery Z :

m=M/4=ρводыа3/4 -  ошибки нет?

\(M= \rho_{бруска}V_{бруска}=\rho_{бруска } \cdot 4a \cdot a \cdot a =4\rho_{бруска }a^3\)

Так как  \( \rho_{бруска} = \frac 1 4 \rho_{воды }\) ,

\(M = \rho_{воды}a^3; \; m=\frac {1}{4}\rho_{воды}a^3\)

givigudze
#54031 2022-12-18 17:36 GMT

С составными телами  поиска центра тяжести не делали. Только из картона вырезали всякие фигурки сложной формы и с отвесом чертили на них линии — искали центр тяжести.

По формулам — ничего не понял, а как учитывается масса прикленной идеально тонкой пластины ?  Ну впринципе то такая же задача как с молотком.

 

Что такое  m=M/4    откуда ?  У нас есть брусок с приклееной пластиной. Почему делим на 4 ?  что за m,  M  ?

НУ еще скажите что если плотность меняется по кубическому закону от одно края к другому, то тоже можно без интегралов найти центр тяжести ? 

Либо есть какое-то правило в теории рычага, что можно упростить тело одинаковой плотности   и составные тела,   либо я чего-то не понимаю.  

zam
#54032 2022-12-18 18:27 GMT
#54031 givigudze :

С составными телами  поиска центра тяжести не делали.

А мы делали.

Центр тяжести молотка на верткали под точкой подвеса.

По формулам — ничего не понял, а как учитывается масса прикленной идеально тонкой пластины ? 

Если у тел с массами \(m_1\)и \(m_2\) центры масс находятся в точках \(\vec{r}_1\) и \(\vec{r}_2\) , то центр масс системы этих тел находится в точке \(\vec{r}_{12}=\frac{m_1\vec{r}_{1}+m_2\vec{r}_{2}}{m_1+m_2}\) .

Что такое  m=M/4    откуда ? 

Так написано в условиях задачи.

что за m,  M  ?

M — масса бруска, m — масса приклеенной пластинки..

НУ еще скажите что если плотность меняется по кубическому закону от одно края к другому, то тоже можно без интегралов найти центр тяжести ? 

Нет. Нужно интегрировать.

в теории рычага

Теория рычага (где вы такую древность откопали??) — это раздел классической механики под названием «Статика».

 

givigudze
#54033 2022-12-18 18:52 GMT

Формулы нахождения центра масс системы тел я не знал.   Спасибо, буду знать. Что-то подобное я предпологал. 

А с m  M  ,  чего то сразу не понял, я думал это расчет нахождения центра масс.

Ну теперь понятно, что задача решаемая для школьника.  Я бы и когда учился  в ВУЗе не решил. 

Valery Z
#54042 2022-12-19 00:13 GMT

Не всё так однозначно получается.
В процессе обсуждения задачи фигурировали и центры масс бруска с пластиной, и центры масс погружённого объёма бруска, и центры погружённого объёма, но до конца так и не было определено единых формулировок. Для бруска с пластиной, наверное правильным будет ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ (не центр масс), т.к. по объёму его плотность не однородна. Для погружённой части бруска договорились о ЦЕНТРЕ ПОГРУЖЁННОГО ОБЪЁМА. И если для установления равновесия должно выполняться условие, чтобы центр тяжести бруска+пластины находился на одной вертикали с центром погружённого объёма, тогда получается, что угол 5,36 гр. не правильный (см. рисунок). Для проверки пробовал доказать равенство (Хцм = Хцо), но не получилось.

Модель в масштабе (все пропорции соблюдены до 4-х знаков после запятой):  (центр масс так и не заменил на центр тяжести)

 

«Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы, но потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий». © Козьма Прутков


отредактировал(а) Valery Z: 2022-12-19 08:50 GMT
zam
#54052 2022-12-19 16:24 GMT
#54042 Valery Z :

Не всё так однозначно получается.

Ошибаетесь. В данной задаче всё однозначно.

В процессе обсуждения задачи фигурировали и центры масс бруска с пластиной, и центры масс погружённого объёма бруска, и центры погружённого объёма, но до конца так и не было определено единых формулировок.

Определения всех этих терминов есть во вполне доступных источниках.

Для бруска с пластиной, наверное правильным будет ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ (не центр масс), т.к. по объёму его плотность не однородна.

Если гравитационное поле однородно, то центр масс и центр тяжести — это одно и то же.

Для погружённой части бруска договорились о ЦЕНТРЕ ПОГРУЖЁННОГО ОБЪЁМА. И если для установления равновесия должно выполняться условие, чтобы центр тяжести бруска+пластины находился на одной вертикали с центром погружённого объёма, тогда получается, что угол 5,36 гр. не правильный (см. рисунок).

Правильный.

Для проверки пробовал доказать равенство (Хцм = Хцо), но не получилось.

Это равенство доказывать не нужно. Это просто условие равновесия (суммарный вращающий момент приложенных к телу сил равен нулю)..

Модель в масштабе

Это моделирование так же бессмысленно, как проверка теоремы Пифагора при помощи линейки и транспортира. Проверяйте аналитические выкладки. Ведь задача имеет чёткое аналитическое решение.

Valery Z
#54061 2022-12-19 19:21 GMT
#54052 zam :
#54042 Valery Z :

Не всё так однозначно получается.

Ошибаетесь. В данной задаче всё однозначно.

«Центр масс погр. объёма» и «Центр объёма» это два разных понятия, и в нашем случае они имеют разные координаты. Если привязывать к вертикали центр масс бруска и «Центр объёма»,  то равенства не получается, а если — «Центр масс объёма» - то почти получается. Но при условии, что Хцм начинает отсчёт (0) в точке 1/2 а, а Хцмо — в точке пересечения бруска с водной поверхностью (см. рисунок).

В процессе обсуждения задачи фигурировали и центры масс бруска с пластиной, и центры масс погружённого объёма бруска, и центры погружённого объёма, но до конца так и не было определено единых формулировок.

 

Определения всех этих терминов есть во вполне доступных источниках.

Ваш пост 53841: «В данном случае лучше использовать понятие центр объёма. Это такая точка, через которую проходит люьая плоскость, делящая объём на две равные части.» 
Какой центр Вы считаете правильный в нашем случае? (см. рис.).

Для бруска с пластиной, наверное правильным будет ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ (не центр масс), т.к. по объёму его плотность не однородна.

Если гравитационное поле однородно, то центр масс и центр тяжести — это одно и то же.

Для погружённой части бруска договорились о ЦЕНТРЕ ПОГРУЖЁННОГО ОБЪЁМА. И если для установления равновесия должно выполняться условие, чтобы центр тяжести бруска+пластины находился на одной вертикали с центром погружённого объёма, тогда получается, что угол 5,36 гр. не правильный (см. рисунок).

Правильный.
Он правильный, но с совпадением по вертикали что-то не так. 

Для проверки пробовал доказать равенство (Хцм = Хцо), но не получилось.

Это равенство доказывать не нужно. Это просто условие равновесия (суммарный вращающий момент приложенных к телу сил равен нулю)..

Где всё же должно быть начало координат?

Модель в масштабе

Это моделирование так же бессмысленно, как проверка теоремы Пифагора при помощи линейки и транспортира. Проверяйте аналитические выкладки. Ведь задача имеет чёткое аналитическое решение.

Зачем тогда продувать крыло в трубе?...
Посчитал, сделал и полетел...
 

 

 

«Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы, но потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий». © Козьма Прутков

Valery Z
#54069 2022-12-20 01:11 GMT

Вот что получилось:
Всё таки, взял «не центр объёма», а «центр масс объёма». Нашёлся угол, при котором центр масс объёма совпал с центром масс бруска+пластины. Угол получился 5,72о.
Взял формулы Хцм и Хцо, подставил новые значения, отталкиваясь от угла 5,72о, в том числе и значение «u». Всё сошлось идеально, но не по общей оси ОХ, а у каждого центра получилась привязка к индивидуальному началу координат (см. рис.). Такие совпадения, думаю, случайно не бывают. Можете посчитать сами.
Удобный онлайн калькулятор: https://matematika-club.ru/kosinus-onlajn-kalkulyator

«Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы, но потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий». © Козьма Прутков


отредактировал(а) Valery Z: 2022-12-20 01:16 GMT
zam
#54070 2022-12-20 11:25 GMT
#54061 Valery Z :

Он правильный, но с совпадением по вертикали что-то не так. 

Который уже день вы занимаетесь чушью. Вместо того, чтобы сесть и подумать, вы мучаете компьютер.

Где всё же должно быть начало координат?

Где нам удобно — там и выбираем.

Зачем тогда продувать крыло в трубе?...

Затем, что общее решение системы уравнений Навье-Стокса (одна из семи задач тысячелетия) пока не известно. Не получается всё посчитать.

Тут чуть-было не произошла сенсация. В 2014 году казахстанский математик Мухтарбай Отелбаев опубликовал решение этой задачи. Но потом толковые китайские и японские математики нашли дырки в решении, и автор их признал. Чуда не случилось.

zam
#54071 2022-12-20 11:26 GMT
#54069 Valery Z :

взял «не центр объёма», а «центр масс объёма». 

Нет такого понятия — «центр масс объёма».

Valery Z
#54072 2022-12-20 11:41 GMT
#54071 zam :
#54069 Valery Z :

взял «не центр объёма», а «центр масс объёма». 

Нет такого понятия — «центр масс объёма».

Вы так и не ответили, какой центр считаете правильным в нашем случае… (см. пост 54061)
Ваш ответ на этот вопрос многое прояснит.
 

 

«Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы, но потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий». © Козьма Прутков

Valery Z
#54073 2022-12-20 12:05 GMT
#54070 zam :
#54061 Valery Z :

Он правильный, но с совпадением по вертикали что-то не так. 

Который уже день вы занимаетесь чушью. Вместо того, чтобы сесть и подумать, вы мучаете компьютер.

Приходится за вас исправлять огрехи.
Удивительно, что вы не видите элементарную ошибку. Формула Хцм находит расстояние от левого торца бруска до центра масс бруска+ пластины (по линии перпендикулярной торцу бруска), а расстояние, помноженное на cos угла показывает проекцию этой линии на поверхность воды. Вот только проекция на вашем графике начинается не в точке начала координат...  Условие равенства: Хцм = Хцо справедливо только для горизонтального положения бруска (когда угол дифферента равен нулю).
С такими расчётами можно и корабль нечаянно потопить.

Где всё же должно быть начало координат?

Где нам удобно — там и выбираем.

Тогда нужно выбирать отдельно для бруска и отдельно для погружённого объёма.

Зачем тогда продувать крыло в трубе?...

Затем, что общее решение системы уравнений Навье-Стокса (одна из семи задач тысячелетия) пока не известно. Не получается всё посчитать.

Тут чуть-было не произошла сенсация. В 2014 году казахстанский математик Мухтарбай Отелбаев опубликовал решение этой задачи. Но потом толковые китайские и японские математики нашли дырки в решении, и автор их признал. Чуда не случилось.

 

«Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы, но потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий». © Козьма Прутков


отредактировал(а) Valery Z: 2022-12-20 12:23 GMT
zam
#54142 2022-12-28 16:09 GMT
#54073 Valery Z :

Формула Хцм находит расстояние от левого торца бруска до центра масс бруска+ пластины (по линии перпендикулярной торцу бруска), а расстояние, помноженное на cos угла показывает проекцию этой линии на поверхность воды.

Как говорил Штирлиц, «А вот с этого надо было начинать».

Вы правы. Формула \(X _{цм}=L\frac{\frac{M}{2}+m}{M+m}cos\varphi\) не точна (является приблизительной, для малых углов \(\varphi\). А как записать точно?

Valery Z
#54153 2022-12-28 20:59 GMT
#54142 zam :
#54073 Valery Z :

Формула Хцм находит расстояние от левого торца бруска до центра масс бруска+ пластины (по линии перпендикулярной торцу бруска), а расстояние, помноженное на cos угла показывает проекцию этой линии на поверхность воды.

Как говорил Штирлиц, «А вот с этого надо было начинать».

Вы правы. Формула \(X _{цм}=L\frac{\frac{M}{2}+m}{M+m}cos\varphi\) не точна (является приблизительной, для малых углов \(\varphi\). А как записать точно?

Так у вас всё упрощение построено на равенстве Хцм = Хцо.  Но по факту они не равны (если брать единое начало координат). Поэтому и упрощение нужно пересматривать (мне так кажется). 

 

«Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы, но потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий». © Козьма Прутков

zam
#54155 2022-12-28 21:16 GMT
#54153 Valery Z :

Так у вас всё упрощение построено на равенстве Хцм = Хцо. 

Равенство  \(X_{ц.м.} =X_{ц.о.}\)  — это не упрощение, а закон природы. Упрощением являются приближённые формулы для вычисления этих величин. Вы когда напшите точные?

Valery Z
#54156 2022-12-28 21:22 GMT
#54155 zam :
#54153 Valery Z :

Так у вас всё упрощение построено на равенстве Хцм = Хцо. 

Равенство  \(X_{ц.м.} =X_{ц.о.}\)  — это не упрощение, а закон природы. Упрощением являются приближённые формулы для вычисления этих величин. Вы когда напшите точные?

Пока вы не определитесь — какой центр верный для данного случая, мы так и будем ходить по кругу.
 

 

«Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы, но потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий». © Козьма Прутков


отредактировал(а) Valery Z: 2022-12-29 00:27 GMT
zam
#54157 2022-12-28 21:44 GMT
#54156 Valery Z :

Пока вы не определитесь — какой центр верный для данного случая, мы так и будем ходить по кругу.

Вам уже всё растолковано 100500 раз. Так что, перестаньте ходить по кругу.

 

Valery Z
#54160 2022-12-29 00:27 GMT
#54157 zam :
#54156 Valery Z :

Пока вы не определитесь — какой центр верный для данного случая, мы так и будем ходить по кругу.

Вам уже всё растолковано 100500 раз. Так что, перестаньте ходить по кругу.

 

Вы меня заставили сделать лишнюю работу. Вот ваши высказывания:

53830 «Находим центр погруженного объёма бруска (это точка приложения архимедовой силы).»
53841 «В данном случае лучше использовать понятие центр объёма. Это такая точка, через которую проходит любая плоскость, делящая объём на две равные части.»
-Посмотрите картинку — пост 54061, — «Центр масс» бруска+пластины не совпадает по вертикали с «Центром погружённого объёма» (при угле 5,36
о). Они совпадут, как уже было показано — пост 54042, при дифференте 3,96о, но этот угол вам не подходит.
53853 «Объём железки — ноль. Поэтому можно только погруженный объём бруска.»
53945 :«Сила Архимеда — она одна. Это равнодействующая сил давления жидкости на тело и приложена она в центре погруженного объёма.»
53950 Lucas :Я думаю более правильно говорить о центре масс погруженной части.
«Более правильно — о центре  объёма  погруженной части.»
Плоскость, проходящая через Центр масс не обязательно должна делить объём пополам (см. рисунок — пост 54156).

«Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы, но потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий». © Козьма Прутков

zam
#54166 2022-12-29 12:45 GMT
#54160 Valery Z :

Вы меня заставили сделать лишнюю работу.

Работа совсем не лишняя. Надеюсь, вы узнали много нового. Давайте проверим. Ответьте на вопросы:

1) что является точкой приложения действующей на тело силы тяжести?

2) что является точкой приложения действующей на тело архимедовой силы?

Valery Z
#54243 2023-01-02 22:48 GMT
#54166 zam :
#54160 Valery Z :

Вы меня заставили сделать лишнюю работу.

Работа совсем не лишняя. Надеюсь, вы узнали много нового. Давайте проверим. Ответьте на вопросы:

1) что является точкой приложения действующей на тело силы тяжести?

2) что является точкой приложения действующей на тело архимедовой силы?

Точкой приложения действующей на тело силы тяжести является Центр масс;
Точкой приложения действующей на тело архимедовой силы является Центр объёма.
А теперь главное:
«Если ОЦТ и ЦОТ находятся на одной вертикали, то в зависимости от со­отношения величин сил тяжести и Архимедовой силы, тело либо всплывает, либо тонет, либо остается неподвижным в воде.
Если ЦОТ и ОЦТ находятся на разных линиях, то возникает момент вращения и потеря равновесия в воде.»
- https://studopedia.ru/25_68768_tsent-ob-ema-i-tsentr-poverhnosti-tela.html
Как я понимаю, совпадение по вертикали  Ц.масс и Ц.объёма является условием равновесия — в смысле — равного погружения тела в воду, т.е., без отклонения его от горизонтали. Это равносильно тому, когда под Ц.масс тела подставили опору, вследствие чего оно приняло горизонтальное положение.
Если Ц.масс и Ц.объёма не совпадают по вертикали, то тело уравновешивается под углом к поверхности воды, при этом, сила тяжести создаёт вращающий момент, погружая более тяжёлую часть тела глубже, а Архимедова сила создаёт «противовращающий» момент для этой части тела, действуя на Ц.объёма, расположенный в стороне от Ц.масс, пока не будет найден баланс этих сил.

 

«Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы, но потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий». © Козьма Прутков


отредактировал(а) Valery Z: 2023-01-03 01:19 GMT
Valery Z
#54289 2023-01-07 22:33 GMT

«Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы, но потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий». © Козьма Прутков

Valery Z
#54474 2023-01-13 12:39 GMT

 

Попробовал подойти с другой позиции, вот что получилось. 
Можно ли вообще из всего этого получить угол  φ ?

           Если решение задачи считать правильным, т.е., угол φ = 5,36 гр., то нужно доказать, что при этом угле дифферента вертикаль, проходящая через Ц.м. бруска+пластины делит погружённый объём пополам.

«Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы, но потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий». © Козьма Прутков


отредактировал(а) Valery Z: 2023-01-14 12:21 GMT