Излучение диполей и реальность существования потенциалов
Наконец-то я нашел подробности, как излучает электрический и магнитный диполь на дальних расстояниях. Может кому-то пригодится.
Выкладываю формулы в цилиндрической системе координат (ρ,φ,z), r2 = ρ2+ z2, для всех величин ∂/∂φ = 0
Электрический элементарный диполь: заряд колеблется вдоль оси z возле нулевой точки с частотой ω, амплитуда дипольного момента P0
Дипольный момент Pz = P0 · cos(ω·t)
Скалярный потенциал a = P0 / (4·π·ε0) · z / r2 · {1 / r · cos(ω·t - ω/c·r) - ω/c · sin(ω·t - ω/c·r)}
Производная по времени a' = - P0 / (4·π·ε0) · ω · z / r2 · {ω/c · cos(ω·t - ω/c·r) + 1 / r · sin(ω·t - ω/c·r)}
Векторный потенциал Az = - P0 · μ0/(4·π) · ω / r · sin(ω·t - ω/c·r)
Производная по времени Az' = - P0 · μ0/(4·π) · ω2 / r · cos(ω·t - ω/c·r)
div A = ∂Az/∂z = P0 · μ0/(4·π) · ω · z / r2 · {ω/c · cos(ω·t - ω/c·r) + 1 / r · sin(ω·t - ω/c·r)}
a' = - c2 · div A
Градиент скалярного потенциала
∂a/∂ρ = P0 / (4·π·ε0) · ρ · z / r3 · {(ω2/c2 - 3 / r2) · cos(ω·t - ω/c·r) + ω/c · 3 / r · sin(ω·t - ω/c·r)}
∂a/∂z = P0 / (4·π·ε0) / r2 · {1 / r · (ω2/c2 · z2 + 1 - 3 · z2 / r2) · cos(ω·t - ω/c·r) + ω/c · (3 · z2 / r2 - 1) · sin(ω·t - ω/c·r)}
Вектор магнитной индукции
Bφ = - ∂Az/∂ρ = - P0 · μ0/(4·π) · ω · ρ / r2 · {ω/c · cos(ω·t - ω/c·r) + 1 / r · sin(ω·t - ω/c·r)}
Вектор электрической напряжённости
Eρ = - ∂a/∂ρ = - P0 / (4·π·ε0) · ρ · z / r3 · {(ω2/c2 - 3 / r2) · cos(ω·t - ω/c·r) + ω/c · 3 / r · sin(ω·t - ω/c·r)}
Ez = - Az' - ∂a/∂z = P0 / (4·π·ε0) / r · {(ω2/c2 · ρ2 / r2 - 1 / r2 + 3 · z2 / r4) · cos(ω·t - ω/c·r) + ω/c / r · (1 - 3 · z2 / r2) · sin(ω·t - ω/c·r)}
Производная по времени Bφ' = - P0 · μ0/(4·π) · ω2 · ρ / r2 · {1 / r · cos(ω·t - ω/c·r) - ω/c · sin(ω·t - ω/c·r)}
Кольцевой ротор электрической напряжённости ∂Eρ/∂z - ∂Ez/∂ρ = P0 / (4·π·ε0) · ω2/c2 · ρ / r2 · {1 / r · cos(ω·t - ω/c·r) -ω/c · sin(ω·t - ω/c·r)}
Bφ' = - (∂Eρ/∂z - ∂Ez/∂ρ), как и должно быть в уравнениях электромагнитного поля
div E = ∂Eρ/∂ρ + Eρ / ρ + ∂Ez/∂z = 0 (проверено мной)
Ток смещения
Jρ = - 1/μ0 · ∂Bφ/∂z = - P0 / (4·π) · ω · ρ · z / r3 · {ω/c · 3 / r · cos(ω·t - ω/c·r) - (ω2/c2 - 3 / r2) · sin(ω·t - ω/c·r)}
Jz = 1 / μ0 · (∂Bφ/∂ρ + Bφ / ρ) = P0 / (4·π) · ω / r · {ω/c / r · (1 - 3 · z2 / r2) · cos(ω·t - ω/c·r) - (ω2/c2 · ρ2 / r2 - 1 / r2 + 3 · z2 / r4) · sin(ω·t - ω/c·r)}
Производные по времени
Eρ' = - P0 / (4·π·ε0) · ω · ρ · z / r3 · {ω/c · 3 / r · cos(ω·t - ω/c·r) - (ω2/c2 — 3 / r2) · sin(ω·t - ω/c·r)} = Jρ/ε0
Ez' = P0 / (4·π·ε0) · ω / r · {ω/c / r · (1 - 3 · z2 / r2) · cos(ω·t - ω/c·r) - (ω2/c2 · ρ2 / r2 - 1 / r2 + 3 · z2 / r4) · sin(ω·t - ω/c·r)} = Jz/ε0
как и должно быть в уравнениях электромагнитного поля
Магнитный диполь и примечания выложу в следующих постах, чтобы первый не был слишком большим.
отредактировал(а) computer: 2022-09-20 13:14 GMT
Личное сообщение
deleted
Причина: флуд.
отредактировал(а) zam: 2022-09-12 15:25 GMT
Магнитный диполь, кольцевой ток с малым радиусом R меняет направление по периодическому закону.
Магнитный момент направлен вдоль оси z: Mz = M0 · cos(ω·t), где M0 = π · R2 · I0, I0 амплитуда тока
Векторный потенциал Aφ = M0 · μ0/(4·π) · ρ / r2 · {1 / r · cos(ω·t - ω/c·r) — ω/c · sin(ω·t - ω/c·r)}
Напряжённость электрического поля
Eφ = - Aφ' = M0 · μ0/(4·π) · ω · ρ / r2 · {ω/c · cos(ω·t - ω/c·r) + 1 / r · sin(ω·t - ω/c·r)}
Производная по времени
Eφ' = M0 · μ0/(4·π) · ω2 · ρ / r2 · {1 / r · cos(ω·t - ω/c·r) - ω/c · sin(ω·t - ω/c·r)}
Магнитная индукция
Bρ = - ∂Aφ/∂z = - M0 · μ0/(4·π) · ρ · z / r3 · {(ω2/c2 - 3 / r2) · cos(ω·t - ω/c·r) + ω/c · 3 / r · sin(ω·t - ω/c·r)}
Bz = ∂Aφ/∂ρ + Aφ / ρ = M0 · μ0/(4·π) / r2 · {(ω2/c2 · ρ2 / r + 2 / r - 3 · ρ2 / r3) · cos(ω·t - ω/c·r) - ω/c · (2 - 3 ·ρ2 / r2) · sin(ω·t - ω/c·r)}
Производные по времени
Bρ' = - M0 · μ0/(4·π) · ω · ρ · z / r3 · {ω/c · 3 / r · cos(ω·t - ω/c·r) - (ω2/c2 - 3 / r2) · sin(ω·t - ω/c·r)} = - (- ∂Eφ/∂z)
Bz' = - M0 · μ0/(4·π) · ω / r2 · {ω/c · (2 - 3 · ρ2 / r2) · cos(ω·t - ω/c·r) + (ω2/c2 · ρ2 / r + 2 / r - 3 · ρ2 / r3) · sin(ω·t - ω/c·r)} = - (∂Eφ/∂ρ + Eφ / ρ)
Ток смещения
Jφ = 1/μ0 · (∂Bρ/∂z - ∂Bz/∂p) = M0 · μ0/(4·π) · ω2/c2 · ρ / r2 · {1 / r · cos(ω·t - ω/c·r) - ω/c · sin(ω·t - ω/c·r)}
Eφ' = Jφ/ε0 (проверено мной)
отредактировал(а) computer: 2022-09-20 20:01 GMT
Примечания:
1. Поскольку r2 = ρ2+ z2, возможна разная запись выражений для ρ и z. Например, 2 - 3 · ρ2 / r2 = 3 · z2 / r2 - 1
2. Хотя дивергенция электрического поля div E везде равна нулю (плотность заряда нулевая), для описания излучения электрического диполя необходим скалярный потенциал a. Для выражения его производной по времени необходим векторный потенциал A. На дальних расстояниях нет речи о «запаздывающих» потенциалах принудительно колеблющейся системы, волны должны распространяться «самостоятельно». Напрашивается вывод, что потенциалы это объективная физическая реальность, фундаментальные поля, не математические абстракции. Для описания дипольного излучения достаточно трёх фундаментальных полей:
a' = - c2 · div A
A' = - E - grad a
E' = c2 · rot rot A
При этом лапласиан div grad (a) принципиально отличается от локальной плотности заряда ε0 · div E, это разные величины. Лапласиан скалярного потенциала в излучении электрического диполя может быть локально не равен нулю, в отличие от дивергенции электрического поля. Формально обе эти величины «сохраняются», так как можно выразить их производные по времени как минус дивергенцию некоторого известного «потока». Но применительно к диполю лапласиан скалярного потенциала сохраняется только глобально, когда в одну сторону вдоль оси z излучается положительная плотность, в обратном такая же по модулю отрицательная. Нельзя сказать, что скалярный потенциал имеет существенную величину только в ближней зоне принудительной генерации и запаздывающих потенциалов. В дальней волновой зоне его интенсивность, как и производной по времени, убывает пропорционально 1 / r, то же самое касается градиента в некоторых направлениях.
3. Напряжённости электрического и магнитного поля убывают в среднем с расстоянием как 1 / r, соответственно плотность энергии убывает как 1 / r2. То есть, интеграл плотности энергии по всему пространству бесконечный, и элементарные диполи нельзя использовать как основу для представления полевых объектов с конечной энергией. Чем дольше работает излучатель, тем больше энергии теряет с волнами, и так до бесконечности.
Основанные на выкладках из этой темы соображения о полевых объектах, движущихся со скоростью света, приводятся в теме:
Полевые объекты, движущиеся со скоростью света — Форум по физике — Вся физика (sfiz.ru)
отредактировал(а) computer: 2022-10-25 18:28 GMT