Пифагорова тройка 1636-го года
В к вадратном уравнении с тремя неизвестными X2+ Y2= Z2(!) целые числа X, Y, Z называют пифагоровой тройкой. Любые два нечётных (взаимно простых) числа M, N дают искомые решения:
X = MN, 2Y = M2 – N2, 2Z = M2 + N2
(Пример: M = 3, N = 1; X = 3, Y = 4, Z = 5 )
Пифагорова тройка 1636 года — это особенная тройка с кубическими числами X, Y, Z, а квадратное уравнение (!) является в то же время уравнением 6-ой степени x6 + y6= z6 , а также кубическим уравнением (x2)3+ (y2)3=(z2)3(!!) .
В особенной тройке решения, доставляемые для чисел X и Y числами M иN, будут
x3 = MN, 2y3 = M2 – N2 = ( M — N )( M + N).
При этом, по основной теореме арифметики, числа M, N, а также одно из чисел либо M – N, либо M + N должны быть кубическими числами ( коротко: если в правых частях равенств кубы, то и в левых частях равенств должны быть кубы), то-есть x3= m3n3, y13 = m3 — n3 (или m3+ n3). ( Здесь y13 обозначает один из кубических делителей числа 2Y = 2y3 ).
В новых кубических уравнениях. m3+ n3= y13 или n3+y13 = m3 числа m, n, y1 меньше соответствующих чисел x2, y2, z2 исходного кубического уравнения(!!) . Это открыло Пьеру Ферма путь от особенной тройки 1636 года к методу «сведения к невозможному» — замечательному методу бесконечного спуска для задач с целыми числами.
Почему «1636 год»? В письмах к французским и английским математикам П. Ферма неоднократно предлагает решить задачу « о трёх кубах» — о невозможности « разложить куб на два куба». Первое из таких писем написано в 1636 году. И только в последнем письме П. Ферма (1660 года) в доказательстве для 4-ой степени раскрывается метод бесконечного спуска.
Если этот рассказ правильно рисует путь к элементарному доказательству ВТФ, то он способствует восстановлению исторической справедливости по отношению к Пьеру Ферма, поскольку в 20-м веке в истории математики господствовало утверждение, что Ферма не имел этого доказательства для любых нечётных степеней.
http://samlib.ru/w/wira/
Откуда: Хайфа после СПб
Кто: пенсионер
Возраст: 87