Качение тела вверх по дуге

Дано:

Диск массой m и радиусом r. Начальная скорость v0. Диск поднимается по дуге радиуса R>>r без проскальзывания.

Коэффициент трения качения k = const.

Найти:

Скорость диска при угле подъема по дуге β.

Решение:

Полная кинетическая энергия диска равна сумме кинетической энергии поступательного движения и вращательного движения:

\(T = T_1 + T_2 = {m v_0^2 \over 2} + {J_0 ω_0^2 \over 2} = {m v_0^2 \over 2} + {m r^2 v_0^2 \over 4r^2} = {3 m v_0^2 \over 4}\)

Вертикальное перемещение центра тяжести диска при достижении указанного угла:

\(h = r cos β + R (1 — cos β)\)

Перемещение точки контакта диска с радиусом будет равно:

\(s = {{β} \over {180°}} πR\)

Правильно ли понимаю, что работа силы трения качения не будет нулевой в конечной точке, так как скорость точки приложения силы трения будет не нулевой?

Останется определить оставшуюся после совершенной работы кинетическую энергию и выразить из нее скорость.

Классический пример с качением по наклонной плоскости не вызывает затруднений. А вот подъем по радиусу с начальной скоростью...

Был бы очень рад разобраться с задачей, ибо есть более сложный вариант с системой связанных тел.