Сивухин, Механика, Кинематика, Задача №1

Задача:

Шарик, которому сообщена горизонтальная скорость ϑ, падает на горизонтальную плиту с высоты h. При каждом ударе о плиту теряется часть скорости (отношение вертикальной составляющей скорости после удара к ее значению до удара постоянно и равно α).

Определить, на каком расстоянии х от места бросания отскоки шарика прекратятся. Считать, что трение отсутствует, так что горизонтальная составляющая скорости шарика ϑ не меняется.

Собственные рассуждения:

Кажется, я не понимаю условия задачи.

На мой взгляд, шарик никогда не прекратит отскакивать: просто высота отскока будет стремиться к нулю, не так?

Ответ дан:

х=ϑ*корень(2*h/g)*(1+α)/(1-α)

P.S.

α - это греческая буква Альфа (на случай, если плохо видно).

Все свелось к пределу суммы геометрической прогрессии.

Спасибо, sinmegane.

P.S. Но ведь отскоки шарика, все равно, не прекратятся

Ахиллес, который никогда не догонит черепаху... слышал.

Исходя из условия задачи, переходим к рассмотрению предела некоего промежутка времени (за который Ахиллес пробегает до местонахождения черепахи в предыдущий момент времени или промежуток времени между двумя соударениями шарика).

Почему получается такая подстава? Ведь ясно, что рано или поздно Ахиллес обгонет черепаху, а шарик не перестанет двигаться в горизонтальном направлении со скоростью ϑ.

От чего это зависит - смотря с какой стороны посмотреть на процесс?

Да, парадокс практически полностью аналогичен парадоксу Зенона про Ахиллеса и черепаху, за тем исключением, что Зенон искусственно бесконечно уменьшает отрезки между Ахиллесом и черепахой при их сближении, а в задаче это уже заложено в самой математической модели процесса. Т.е. шарик за конечное время делает бесконечное кол-во отскоков и затем просто скользит по поверхности. В реальности такого не бывает, конечно, но математическая модель этого процесса именно это и предполагает.