Задачи на период колебаний и частоту, 9 класс

Всем здравствуйте! Помогите, пожалуйста, задачки решить. Это ДКР, а я проболела всю четверть и не могу разобраться теперь. Очень прошу помочь именно решением, а не подсказками.

2. На поверхности воды плотностью ρ плавает бутылка массой m и площадью поперечного сечения S. Найдите период свободных вертикальных колебаний бутылки при условии, что в воде находится только ее цилиндрическая часть (т.е. горлышко в воду не погружается).

3. Электроемкость конденсатора переменной емкости в контуре радиоприемника может изменяться от C₁=50 нФ до C₂=250 нФ. Индуктивность катушки остается неизменной и равно L=0,6 мГн. На каких частотах работает радиоприемник?

4. Электромагнитная волна от некоторого источника распространяется в бензоле, при этом длина волны составляет 1,2 мм. Определите период колебаний источника. Показатель преломления бензола 1,5.

2. \(f=\frac{1}{T}=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\)

Подставляя сюда значения емкостей можно определить частоты

\(T=2\pi\sqrt{LC}\)

1. На плавающую бутылку действуют две уравновешивающие друг друга силы: сила тяжести \(P=mg\) направленная вниз и сила Архимеда \(F_A=\rho{gSh}\) направленная вверх. \(h\) - глубина погружения бутылки.

\(P=F_A\)

\(mg=\rho{gSh}\) (1)

При погружении бутылки дополнительно на глубину \(x\) возникнет дополнительная выталкивающая сила

\(F=\rho{gS(h+x)}-mg\) (2)

С учетом (1) перепишем (2)

\(F=\rho{gS(h+x)}-\rho{gSh}=\rho{gSx}\)

Сила \(F=\rho{gSx}\) и вызывает колебания бутылки, т. е. можно записать \(F=-kx\), где \(k=\rho{gS}\)

Второй закон Ньютона в данном случае имеет вид:

\(m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx\) (3)

Полагая

\(\omega_0^2=\frac{k}{m}\) (4)

запишем (3) так:

\(\frac{d^2x}{dt^2}+\omega_0^2x=0\)

Это есть уравнение гармонических колебаний с циклической частотой

\(\omega_0=\frac{2\pi}{T}\)

Откуда с учетом (4) получим

\(T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi\sqrt{\frac{m}{\rho{gS}}}\)