§ 197. Формула линейного расширения

Измерения показывают, что одно и то же тело расширяется при различных температурах по-разному: при высоких температурах тепловое расширение обычно сильнее, чем при низких. Однако разница в расширении невелика, и при относительно небольших изменениях температуры мы можем ею пренебречь и считать, что изменение размеров тела пропорционально изменению температуры.

Обозначим длину тела при начальной (например, комнатной) температуре  буквой , а длину того же тела при температуре  — буквой . Удлинение тела при нагреваний на  равно . Удлинение того же тела при нагревании на  будет при наших предположениях  раз меньше, т. е. будет равно . Это — общее удлинение всего тела; оно тем больше, чем длиннее тело.

Для того чтобы получить характеристику теплового расширения материала, из которого сделано тело, надо взять относительное удлинение, т. е. отношение наблюдаемого удлинения к длине тела при определенных «нормальных» условиях. «Нормальной» длиной считают длину тела при , обозначаемую . Итак, тепловое расширение материала характеризуется величиной . Она называется температурным коэффициентом линейного расширения и показывает, на какую долю своей нормальной длины увеличивается длина тела при нагревании на . Так как тепловое расширение большинства тел весьма незначительно, то длина  при  очень мало отличается от длины  при другой температуре, например комнатной. Поэтому в выражении коэффициента линейного расширения  можно заменить на , так что

. (197.1)

Для определения коэффициента  надо измерить длину  стержня из исследуемого материала, поддерживая по всему его объему одну и ту же температуру . Затем следует с той же относительной точностью измерить удлинение , вызванное изменением температуры от  до . Чтобы увеличить точность измерения удлинения , которое обычно бывает очень малым, приходится прибегать к особым приемам (например, к измерению при помощи микроскопа перемещения конца стержня, другой конец которого закреплен). В табл. 3 приведены коэффициенты линейного расширения некоторых веществ.

Таблица 3. Коэффициент линейного расширения некоторых веществ

Зная коэффициент линейного расширения, мы можем рассчитать длину тела при любой температуре в пределах не очень большого температурного интервала. Преобразуем формулу (197.1): Обратим внимание на крайне малые значения коэффициентов линейного расширения инвара, суперинвара и кварцевого стекла. Инвар применяют в точных приборах (например, для маятников точных часов), показания которых не должны зависеть от температуры. Из инвара делают эталоны длины, применяемые при особо точных измерениях, например геодезических. Кварцевая посуда не лопается при очень резких изменениях температуры (например, остается целой, если раскаленную докрасна посуду опустить в воду). Причина заключается в малом коэффициенте линейного расширения кварца, благодаря чему возникают лишь незначительные напряжения, даже если соседние части значительно различаются по температуре.

, или .

Обозначив для краткости приращение температуры  буквой , напишем

. (197.2)

Мы получили формулу линейного расширения. Выражение, стоящее в скобках, носит название бинома (или двучлена) линейного расширения. Бином расширения показывает, во сколько раз увеличилась длина тела, если приращение температуры равно .

Формулой (197.2) можно пользоваться и для того случая, когда нужно найти длину тела после его охлаждения. При этом приращение температуры  нужно считать отрицательным (новая температура  меньше исходной температуры ). Ясно, что в этом случае бином будет меньше единицы; это соответствует уменьшению длины тела при охлаждении.

Мы ограничились рассмотрением небольших изменений температуры, при которых коэффициент линейного расширения можно считать постоянным. При значительных изменениях температуры это уже не имеет места. Например, коэффициент линейного расширения железа при температурах около  равен ; при температурах, близких к , он равен ; при температурах, близких к , равен . Поэтому формулой (197.2) следует пользоваться лишь для небольших изменений температур, придавая  разные значения в зависимости от температурного интервала.

197.1. При  длины железного и цинкового стержней должны быть равны между собой, а при 100°С должны разниться на1 мм. Какие длины стержней при  удовлетворяют этому условию?

197.2. Внутренний диаметр полого медного цилиндра при  равен 100 мм. В каком интервале температур отклонение от этого значения не превышает 50 мкм?

197.3. При помощи штангенциркуля, предназначенного для работы при , измерили длину некоторого предмета при . Отсчет дал 19,97 см. Какова длина измеряемого тела?