Вращающиеся системы отсчета

Теперь рассмотрим движение тел по отношению к системам отсчета, вращающимся относительно инерциальных систем. Выясним, какие силы инерции действуют в этом случае. Ясно, что это будет более сложно, так как разные точки таких систем имеют разные ускорения относительно инерциальных систем отсчета.

Начнем со случая, когда тело покоится относительно вращающейся системы отсчета. В этом случае сила инерции должна уравновешивать все силы, действующие на тело со стороны других тел. Пусть система вращается с угловой скоростью со, а тело расположено на расстоянии от оси вращения и находится в равновесии в этой точке. Для того чтобы найти результирующую сил, действующих на тело со стороны других тел, можно, как и в § 128, рассмотреть движение тела относительно инерциальной системы. Это движение есть, вращение с угловой скоростью по окружности радиуса . Согласно § 119 результирующая сила направлена к оси по радиусу и равна , где — масса тела. Эта сила может быть вызвана натяжением нити (вращение грузика на нити), силой тяготения (движение планет вокруг Солнца), упругостью других тел (упругость рельсов при движении вагона: по закруглению) и т. п.

Результирующая сила, не зависит от того, в какой системе отсчета рассматривается данное движение. Но относительно нашей неинерциальной системы тело покоится. Значит, сила инерции уравновешивает эту результирующую, т. е. равна массе тела, умноженной на ускорение той точки системы, где находится тело, и направлена противоположно этому ускорению. Таким образом, сила инерции также равна , но направлена по радиусу от оси вращения. Эту силу называют центробежной силой инерции. Силы, действующие со стороны других тел на тело, покоящееся относительно вращающейся системы отсчета, уравновешиваются центробежной силой инерции.

В отличие от сил инерции в поступательно движущихся системах, центробежная сила инерции для тела данной массы зависит от точки, в которой расположено тело, и по модулю и по направлению: центробежная сила инерции: направлена по радиусу, проходящему через тело, и для заданной угловой скорости пропорциональна расстоянию от тела до оси вращения.

Вследствие вращения Земли на ней также должна наблюдаться центробежная сила инерции (которой мы до сих пор пренебрегали). В § 133 мы нашли, что центростремительное ускорение на экваторе равно м/с2. Это составляет примерно часть ускорения свободного падения . Значит, на тело массы , находящееся на экваторе, действует центробежная сила инерции, равная и направленная от центра, т. е. по вертикали вверх. Эта сила уменьшает вес тела по сравнению с силой притяжения Земли на часть. Так как на полюсе центробежная сила инерции равна нулю, то при перенесении тела с полюса на экватор оно «потеряет» вследствие вращения Земли часть своего веса. На других широтах центробежная сила инерции будет меньше, изменяясь пропорционально радиусу параллели, на которой расположено тело (рис. 208). Из рисунка видно, что всюду, кроме экватора и полюсов, центробежная сила инерции направлена под углом к направлению на центр Земли, отклоняясь от него в сторону экватора. В результате сила тяжести , представляющая собой результирующую силы притяжения к Земле и центробежной силы инерции, оказывается отклоненной от направления на центр Земли в сторону экватора.

Рис. 208. Центробежная сила инерции на разных широтах

В действительности, как показал опыт, потеря веса тела при перенесении его с полюса на экватор составляет не часть его веса, а больше: около части. Это объясняется тем, что Земля не шар, а слегка сплюснутое тело, и поэтому сила тяжести на полюсе оказывается несколько больше, чем на экваторе. Влияние силы инерции и различия в силе притяжения к Земле на разных широтах, приводит к зависимости ускорения свободного падения от широты местности и к различию в ускорении свободного падения в разных точках земного шара, о котором говорилось в § 53.

Мы видим, что существует эквивалентность центробежной силы инерции и сил тяготения. Если бы Земля не вращалась, та же потеря в весе вызывалась бы немного большей сплюснутостью Земли, а если бы Земля не была сплюснута, та же потеря в весе вызывалась бы несколько большей скоростью вращения Земли. Отклонение отвеса также вызывалось бы не вращением Земли, а неравномерным распределением масс внутри Земли.

Таким образом, различие в весе тел и отклонения отвеса в разных точках земного шара еще нельзя считать доказательством вращения Земли относительно инерциальной системы отсчета: С опытами, доказывающими вращение Земли относительно системы отсчета Солнце — звезды, мы познакомимся в § 136.

Сама сплюснутость Земли объясняется ее вращением: с точки зрения земного наблюдателя она вызвана центробежными силами инерции, направленными от оси и имеющими наибольшее значение на экваторе. С точки зрения «инерциального наблюдателя» деформация Земли возникает так же, как деформация всякого вращающегося тела (§ 119). Подобным же образом сплюснуты и другие вращающиеся небесные тела. Юпитер, например, сплюснут очень сильно вследствие большой скорости его вращения (один оборот за 10 часов). Напротив, Луна, совершающая один оборот вокруг своей оси за один месяц, практически не сплюснута и имеет форму шара.

134.1. Рассмотрите задачи §§ 119 и 122 с точки зрения наблюдателя, находящегося во вращающейся системе отсчета.

134.2. При каком периоде вращения Земли вокруг своей оси центробежная сила инерции на экваторе полностью уравновешивала бы силу притяжения Земли, так что вес тела на экваторе равнялся бы нулю?

134.3. Покажите, что уменьшение веса тела, обусловленное вращением Земли, меняется, как квадрат косинуса широтного угла, а составляющая центробежной силы инерции, направленная к экватору, меняется, как синус двойного широтного угла.