Логин:   Пароль:  

Соцсети






Автор:
Написал: Amro Дата: 25-Мар-2010
В опытах, описанных в §§ 12—14, периодическое воздействие создавали тела, совершающие гармоническое колебание (движение нити в механизме, изображенном на рис. 25, массивный маятник). В соответствии с этим действующая сила тоже менялась по закону гармонического колебания. К этому случаю и относится сделанное нами наблюдение, что сильная раскачка получается только при совпадении периода силы с собственным периодом системы. Получится ли то же самое, если сила действует периодически, но не по закону гармонического колебания, а как-либо иначе?

Мы можем, например, периодически ударять маятник, т. е. действовать короткими повторяющимися толчками. Опыт показывает, что в этом случае резонансные явления будут наступать уже не только при одном-единственном периоде силы. По-прежнему мы будем наблюдать большую раскачку, ударяя маятник один раз за период его свободных колебаний. Но сильная раскачка получится и в том случае, если ударять маятник вдвое реже — пропуская одно качание, или втрое реже — пропуская два качания, и т. д.

Таким образом, из описанного опыта видно, что если сила меняется периодически, но не по гармоническому закону, то она может вызвать резонансные явления не только при совпадении ее периода с периодом свободных колебаний системы, но и тогда, когда период силы в целое число раз длиннее этого периода.

К такому же заключению приводит и следующая постановка опыта: вместо одной колебательной системы (маятника), на которую мы действуем поочередно силами разного периода, можно взять набор однотипных систем с различными собственными частотами и действовать на все эти системы одновременно одной и той же периодической силой. Чтобы резонансные явления были острыми, системы должны обладать достаточно малым затуханием. Воспользуемся снова набором маятников, но не таким, как на рис. 26. Там длины наибольшего и наименьшего маятников отличались лишь в два раза, т. е. собственные частоты отличались лишь в Ö2=1,4 раза. Теперь мы возьмем маятники, собственные частоты которых лежат в более широком диапазоне и среди которых имеются, в частности, маятники с кратными частотами. Пусть, например, собственные частоты составляют 1/2; 3/4; 1; 5/4; 3/2 и 2 Гц. Соответствующие длины маятников будут равны приблизительно 100; 44,4; 25; 16; 11,1 и 6,3 см. Этот набор показан на рис. 29. Разумеется, и здесь мы можем убедиться, что при действии гармонической силы большую амплитуду приобретает только тот маятник, который настроен в резонанс на частоту силы.

Гармоническую силу можно создать прежним способом, подвесив к общей рейке массивный маятник и сделав его равным по длине какому-либо из маятников нашего набора. Опыт хорошо удается и в том случае, если просто покачивать всю стойку рукой, сообщая ей гармонические колебания в такт с колебаниями одного из маятников.

Именно этот маятник и будет раскачиваться с большой амплитудой, остальные же останутся практически в покое. Картина получится совсем иная, если вместо гармонического покачивания стойки сообщать ей резкие периодические толчки, т. е. действовать на все маятники с периодической, но уже негармонической силой, Толкая стойку с периодом самого длинного маятника — один раз в 2 с, мы увидим, что раскачивается не только этот маятник, но и другие, однако не все, а лишь те, собственные частоты которых в целое число раз больше, чем частота самого длинного маятника (1/2 Гц). Иными словами, кроме маятника с частотой 1/2 Гц, сильно раскачаются маятники с частотами 1, 3/2 и 2 Гц, остальные же останутся почти в покое. Сопоставляя этот результат с предыдущим, когда гармоническая сила раскачи-

Рис. 29. Набор маятников, частоты которых указаны на рисунке
вала только один маятник, мы прих
18c5
одим к такому заключению.

Негармоническое периодическое воздействие с периодом Т равносильно одновременному действию гармонических сил с разными частотами, а именно, с частотами, кратными наиболее низкой частоте n=l/T.

Это заключение, касающееся периодической силы, является лишь частным случаем общей математической теоремы, которую доказал в 1822 г. французский математик Жан Батист Фурье (1768—1830). Теорема Фурье гласит: всякое периодическое колебание периода Т может быть представлено в виде суммы гармонических колебаний с периодами, равными Т, 772, 773, Т/4 и т. д., т. е. с частотами n=l/T 2n, 3n, 4n и т. д.

Наиболее низкая частота v называется основной частотой. Колебание с основной частотой v называется первой гармоникой или основным тоном, а колебания с частотами 2v, 3v, 4v и т. д. называются высшими гармониками (второй, третьей, четвертой) или обертонами (первым — 2n, вторым — 3n и т. д.).

Теорема Фурье — это математическая теорема совершенно общего характера, позволяющая любую периодическую величину (перемещение, скорость, силу и т. п.) представить в виде суммы величин (перемещений, скоростей, сил и т. п.), меняющихся по синусоидальному закону.

Применительно к рассматриваемой нами задаче о действии негармонической периодической силы эта теорема сразу же объясняет, почему можно раскачать маятник не только толчками, следующими друг за другом с периодом, равным периоду маятника, но вдвое реже, втрое реже и т. д.

Пусть собственная частота маятника равна 1 Гц. Толкая его один раз в секунду, мы создаем периодическую силу, состоящую из следующих гармонических колебаний: основного с частотой 1 Гц и обертонов с частотами 2, 3, 4 Гц и т. д. Таким образом, в этом случае в резонанс с собственной частотой маятника попадает основное гармоническое колебание силы. Если толкать маятник через раз, т. е. один раз в 2 с, то сила будет состоять из основного колебания с частотой 1/2 Гц и гармоник с частотами 1, 3/2, 2, 5/2 Гц и т. д.

Следовательно, в этом случае маятник раскачивается потому, что в резонанс действует первый обертон силы. При толчках, повторяющихся через каждые 3 с, с собственной частотой маятника совпадает второй обертон силы, и т. д.

Итак, периодическая негармоническая сила сильно раскачивает колебательную систему тогда, когда в резонанс с собственной частотой системы попадает какое-либо из гармонических колебаний, входящих в состав силы.

Описанный в § 15 язычковый частотомер может быть использован подобно набору однотипных маятников, упоминавшихся в начале этого параграфа, для гармонического анализа негармонической силы.

Как мы видели, под действием гармонической силы определенной частоты раскачивается один из язычков частотомера; при всяком же негармоническом воздействии (например, прерывистый ток) будет колебаться не один язычок, а несколько, именно те, которые попадают в резонанс с гармониками, входящими в состав тока. Раскачка каждого язычка будет при этом прямо пропорциональна амплитуде той гармонической слагающей тока, на которую этот язычок резонирует. Частотомером можно воспользоваться и для определения гармонического состава механических колебаний, например колебаний фундамента машины. Для этого достаточно поставить прибор на колеблющийся фундамент.





Комментарии: (0) Рейтинг:
Пока комментариев нет
2006-2015г. © Научно-Образовательный портал "Вся Физика"
Копирование материалов с данного сайта разрешено, при условии наличия ссылки на ресурс "Вся Физика"
Страница создана за 0.038 секунды