Логин:   Пароль:  

Соцсети





Примеры решения задач
Автор: Iskander
Написал: iskander Дата: 07-Окт-2010
Механические колебания

Динамика колебательного движения

Задача 1.

Шарик массой 20 г колеблется с периодом 2 с. В начальный момент времени шарик обладал энергией 0,01 Дж и находился от положения равновесия на расстоянии 2,5 см. Составить уравнение гармонического колебания и закон изменения возвращающей силы с течением времени.

Решение.

Запишем краткое условие задачи.

Найти: x=x(t), F=F(t)
Дано:
m=0,02 кг,
T=2 с,
W=0.01 Дж,
x_1=0.025 м.

Выберем в качестве ИСО "Лабораторию" - помещение в котором мы наблюдаем колебание шарика. Задачи часто решают в лабораторной ИСО.

Будем искать x в виде

x=A\cos{(\omega{t}+\varphi_0)}. (1)

Так как период колебаний известен, то \omega=\frac{2\pi}{T}=\pi c-1.

Амплитуду колебаний найдем из выражения для энергии W=\frac{m\omega^2{A^2}}{2}, откуда

A={\frac{1}{\omega}}\cdot{\sqrt{\frac{2W}{m}}}=0.32 м.

Воспользуемся теперь условием начального момента t=0

x_1=A\cos{\varphi_0}.

\cos{\varphi_0}=\frac{x_1}{A}=0.78, откуда \varphi_0=0.3\pi=51^{\circ}

Подставляя найденные значения в (1), получим:

x=0,32\cos{\pi(t+0.3)}.

Если на тело массы m действует квазиупругая сила, то тело совершает гармонические колебания с циклической частотой

\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}, откуда k=\omega^2m

Тогда F=-kx=-0.063\cos{\pi(t+0.3)}.


Задача 2.

Тело, неподвижно висящее на цилиндрической пружине, растягивает её на x_0=5 см. Затем тело было смещено из положения равновесия по вертикали и отпущено, в результате чего оно стало совершать колебания. Найти их период.


Решение.

Запишем краткое условие задачи.

Найти: T
Дано: x_0=0.05 м.

Выберем в качестве ИСО точку подвеса пружины, ось OX направим вертикально вниз.

На тело действуют две силы: сила тяжести F_t=mg и сила упругости пружины F_u=-kx.

Когда тело покоится, равнодействующая приложенных к нему сил равна нулю: mg-kx_0=0.

Отсюда можем сразу найти коэффициент жесткости пружины: k=\frac{mg}{x_0}.

Пусть теперь тело смещено от положения равновесия на x' и пружина растянулась на величину x'+x_0. Равнодействующая сил в этом случае есть

F=mg-k(x'+x_0)=mg-kx'-kx_0=-kx'.

Мы видим, что и при наличии силы тяжести тело будет совершать гармонические колебания, период которых можно определить по формуле

T={2\pi}\sqrt{\frac{m}{k}}={2\pi}\sqrt{\frac{x_0}{g}}=0.45 c.

Задача 3.

Ареометр массы m=55 г, плавающий в растворе серной кислоты, указывает, что плотность жидкости \rho=1.27 г/см3. Если прибор сместить из положения его равновесия немного по вертикали и отпустить, он начнет колебаться. Считая колебания незатухающими, определить их период, если радиус цилиндрической трубки ареометра, в которой заключена его шкала, равен r=0.30 см.

Решение.

Запишем краткое условие задачи.

Найти: T

Дано:
m=55 г.
\rho=1.27 г/см3.
r=0.30 см.

По правила надо было бы перевести данные величины в СИ, но поскольку мы ищем период, который измеряется в секундах, мы этого делать не будем, хотя это и не очень правильно.

Выберем в качестве ИСО сосуд с кислотой, т.е. в нашей задаче сосуд и кислота неподвижны. Ось Ox направим вниз.

На погруженный в жидкость ареометр действуют две силы: сила тяжести mg и выталкивающая, архимедова, сила F_A, равная весу жидкости, вытесненной телом:

F_A=P=m_kg={\rho}Vg, (1)

где V - объем вытесненной жидкости, равный объему погруженной в кислоту части ареометра.

Если ареометр находится в равновесии, то приложенные к нему силы уравновешены.

mg-{\rho}gV=0.

Сместим ареометр из положения равновесия на величину x вниз. В силу изменения объема погруженной в жидкость нижней части ареометра изменится и архимедова сила. На ареометр будет действовать равнодействующая сила, направленная вниз:

F=mg-{\rho}g(V+\Delta{V}). (2)

Здесь \Delta{V}={\pi}r^2x - изменение объема погруженной части прибора. Подставляя в (2) это значение и учитывая (1), получим:

F=-{\pi}r^2{\rho}gx=-kx,

где k={\pi}r^2{\rho}g - постоянная величина. мы видим, что на ареометр действует сила, пропорциональная смещению, взятому с обратным знаком, т.е. квазиупругая сила. Следовательно, он совершает гармонические колебания, период которых может быть найден по формуле

T=2\pi{\sqrt{\frac{m}{k}}}

или

T=2\pi{\sqrt{\frac{m}{{\pi}r^2{\rho}g}}}=2,5 с.


Комментарии: (0) Рейтинг:
Пока комментариев нет
2006-2015г. © Научно-Образовательный портал "Вся Физика"
Копирование материалов с данного сайта разрешено, при условии наличия ссылки на ресурс "Вся Физика"
Страница создана за 0.039 секунды