Логин:   Пароль:  

Соцсети





Примеры решения задач
Автор: Iskander
Написал: iskander Дата: 14-Сен-2010
Механические колебания

Кинематика колебательного движения

Задача 1.
Материальная точка совершает гармонические колебания с частотой \nu и амплитудой A. Определить средние значения скорости \bar V и ускорения \bar a точки на пути от её крайнего положения до положения равновесия, а также найти максимальные значения этих величин: V_{max} и a_{max}.

Решение.

Запишем краткое условие задачи.

Найти: \bar V, \bar a, V_{max}, a_{max}
Дано: \nu, A

Будем решать задачу в инерциальной системе отсчета (ИСО) связанной с точкой, задающей положение равновесия колеблющейся системы.
Из кинематики мы знаем, что средняя скорость есть отношение пройденного пути ко времени прохождения этого пути:

\bar V=\frac{\Delta{l}}{\Delta{t}}. (1)

В нашем случае \Delta{l}=A - путь от положения равновесия до максимального отклонения, а \Delta{t}=\frac{T}{4} - четвертая часть перида колебания. Подставляя в (1) получим:

\bar V=\frac{4A}{T}=4A\nu. (2)

Полагая в формуле V=\dot x=A\omega\cos(\omega{t}+\varphi_0)
\cos(\omega{t}+\varphi_0)=1, найдем максимальную скорость:

V_{max}=\omega{A}=2\pi{\nu}{A}. (3)

Среднее ускорение есть

\bar a=\frac{\delta{V}}{\Delta{t}}, (4)

где \Delta{V}=V-V_0. В нашем случае начальная скорость V_0=0, а конечная скорость V=V_{max}=2\pi{\nu}{A}, \Delta{t}=\frac{T}{4}. Подставляя в (4) получим:

\bar a=\frac{4\omega{A}}{T}=8\pi{\nu^2}A. (5)

Полагая в формуле a=\ddot x=-A\omega^2\sin(\omega{t}+\varphi_0)
\sin(\omega{t}+\varphi_0)=1, найдем максимальное ускорение:

a_{max}={\omega^2}A=4{\pi^2}{\nu^2}A.

Задача 2.
Материальная точка совершает гармонические колебания с частотой \nu=1Гц , в момент времени t=0 проходит положение определяемое координатой X=5 cм, со скоростью V=15 м\с, Определить амплитуду колебаний A.

Решение.

Запишем условие задачи кратко.

Найти: A
Дано: \nu=1Гц, t=0, X=0,05 м, V=15 м\с.

Как и в задаче 1 будем решать задачу в инерциальной системе отсчета (ИСО) связанной с точкой, задающей положение равновесия колеблющейся системы.
В разделе "Механические колебания" http://sfiz.ru/page.php?al=mexanicheskie_kolebanija приведена формула гармонического колебания

x=A\sin(\omega{t}+\varphi_0), где \omega=2\pi{\nu}

При t=0 x=X и тогда

X=A\sin{\varphi_0} (1)

В том же разделе есть формула v=\dot x=A\omega\cos(\omega{t}+\varphi_0) и при t=0 V=15 м/c и тогда

V=A\omega\cos{\varphi_0} (2)

Поделив (1) на (2) получим

\tan{\varphi_0}=\frac{2\pi{\nu}X}{V}=0.0209, откуда \varphi_0=1.2^0=0.021 рад.

Подставляя этот угол в (1) получим искомое значение A

A=\frac{X}{\sin{\varphi_0}}\approx2.38 м.

Задача 3.
Грузик на пружине совершает гармонические колебания описываемые уравнением x=0.05\cos(\frac{\pi}{3}\cdot{t})м. Какой путь пройдет грузик за 20с от начала движения?

Решение.

Найти:
S
Дано:
x=0.05\cos(\frac{\pi}{3}\cdot{t})м;
t=20с.

Свяжем ИСО с точкой закрепления пружины.

Из кинематики мы знаем, что пройденный путь есть S=\int{{\dot x}dt}.

В нашем случае \dot x=-0.05\frac{\pi}{3}\sin(\frac{\pi}{3}\cdot{t}), тогда

S=\int_0^{20}{{\dot x}dt}=-0.05\frac{\pi}{3}\int_0^{20}\sin(\frac{\pi}{3}\cdot{t})dt=0.075м.

Задача 4.
Найти зависимость скорости гармонического колебания от смещения.

Решение.

Найти: v=f(x)
Дано: x=x_0\sin(\omega{t}+\varphi_0)

Задача чисто математическая, ИСО задавать не будем.

x=x_0\sin(\omega{t}+\varphi_0), (1)

берем первую производную

v=\dot x=x_0\omega\cos(\omega{t}+\varphi_0) или

\frac{v}{\omega}=x_0\cos(\omega{t}+\varphi_0) (2)

Возводим (1) и (2) в квадрат и складываем

x^2+\frac{v^2}{\omega^2}=x_0^2, откуда

v={\omega}\sqrt{x_0^2-x^2}

Задача 5.
Найти зависимость скорости гармонического колебания от смещения.

Решение.

Найти: a=f(v)
Дано: x=x_0\sin(\omega{t}+\varphi_0)

Задача чисто математическая, ИСО задавать не будем.

Берем первую и вторую производные от x=x_0\sin(\omega{t}+\varphi_0)

v=x_0\omega\cos(\omega{t}+\varphi_0)

a=-x_0\omega^2\sin(\omega{t}+\varphi_0)

Перепишем полученные равенства в виде

\frac{v}{\omega}=x_0\cos(\omega{t}+\varphi_0) (1)

\frac{a}{\omega^2}=-x_0\sin(\omega{t}+\varphi_0) (2)

Возводим (1) и (2) в квадрат и складываем

\frac{v^2}{\omega^2}+\frac{a^2}{\omega^4}=x_0^2 или

v^2+\frac{a^2}{\omega^2}=x_0^2\omega^4

Полагая x_0^2\omega^4=v_0^2 получим

a=-{\omega}\sqrt{v_0^2-v^2}


Комментарии: (0) Рейтинг:
Пока комментариев нет
2006-2015г. © Научно-Образовательный портал "Вся Физика"
Копирование материалов с данного сайта разрешено, при условии наличия ссылки на ресурс "Вся Физика"
Страница создана за 0.046 секунды