Механические колебания
Динамика колебательного движения
Задача 1.
Шарик массой 20 г колеблется с периодом 2 с. В начальный момент времени шарик обладал энергией 0,01 Дж и находился от положения равновесия на расстоянии 2,5 см. Составить уравнение гармонического колебания и закон изменения возвращающей силы с течением времени.
Решение.
Запишем краткое условие задачи.
Найти: \(x=x(t)\), \(F=F(t)\)
Дано:
\(m=0,02\) кг,
\(T=2\) с,
\(W=0.01\) Дж,
\(x_1=0.025\) м.
Выберем в качестве ИСО "Лабораторию" - помещение в котором мы наблюдаем колебание шарика. Задачи часто решают в лабораторной ИСО.
Будем искать \(x\) в виде
\(x=A\cos{(\omega{t}+\varphi_0)}\). (1)
Так как период колебаний известен, то \(\omega=\frac{2\pi}{T}=\pi\) c-1.
Амплитуду колебаний найдем из выражения для энергии \(W=\frac{m\omega^2{A^2}}{2}\), откуда
\(A={\frac{1}{\omega}}\cdot{\sqrt{\frac{2W}{m}}}=0.32\) м.
Воспользуемся теперь условием начального момента \(t=0\)
\(x_1=A\cos{\varphi_0}\).
\(\cos{\varphi_0}=\frac{x_1}{A}=0.78\), откуда \(\varphi_0=0.3\pi=51^{\circ}\)
Подставляя найденные значения в (1), получим:
\(x=0,32\cos{\pi(t+0.3)}\).
Если на тело массы \(m\) действует квазиупругая сила, то тело совершает гармонические колебания с циклической частотой
\(\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\), откуда \(k=\omega^2m\)
Тогда \(F=-kx=-0.063\cos{\pi(t+0.3)}\).
Задача 2.
Тело, неподвижно висящее на цилиндрической пружине, растягивает её на \(x_0=5\) см. Затем тело было смещено из положения равновесия по вертикали и отпущено, в результате чего оно стало совершать колебания. Найти их период.
Решение.
Запишем краткое условие задачи.
Найти: \(T\)
Дано: \(x_0=0.05\) м.
Выберем в качестве ИСО точку подвеса пружины, ось OX направим вертикально вниз.
На тело действуют две силы: сила тяжести \(F_t=mg\) и сила упругости пружины \(F_u=-kx\).
Когда тело покоится, равнодействующая приложенных к нему сил равна нулю: \(mg-kx_0=0\).
Отсюда можем сразу найти коэффициент жесткости пружины: \(k=\frac{mg}{x_0}\).
Пусть теперь тело смещено от положения равновесия на \(x'\) и пружина растянулась на величину \(x'+x_0\). Равнодействующая сил в этом случае есть
\(F=mg-k(x'+x_0)=mg-kx'-kx_0=-kx'\).
Мы видим, что и при наличии силы тяжести тело будет совершать гармонические колебания, период которых можно определить по формуле
\(T={2\pi}\sqrt{\frac{m}{k}}={2\pi}\sqrt{\frac{x_0}{g}}=0.45\) c.
Задача 3.
Ареометр массы \(m=55\) г, плавающий в растворе серной кислоты, указывает, что плотность жидкости \(\rho=1.27\) г/см3. Если прибор сместить из положения его равновесия немного по вертикали и отпустить, он начнет колебаться. Считая колебания незатухающими, определить их период, если радиус цилиндрической трубки ареометра, в которой заключена его шкала, равен \(r=0.30\) см.
Решение.
Запишем краткое условие задачи.
Найти: \(T\)
Дано:
\(m=55\) г.
\(\rho=1.27\) г/см3.
\(r=0.30\) см.
По правила надо было бы перевести данные величины в СИ, но поскольку мы ищем период, который измеряется в секундах, мы этого делать не будем, хотя это и не очень правильно.
Выберем в качестве ИСО сосуд с кислотой, т.е. в нашей задаче сосуд и кислота неподвижны. Ось \(Ox\) направим вниз.
На погруженный в жидкость ареометр действуют две силы: сила тяжести \(mg\) и выталкивающая, архимедова, сила \(F_A\), равная весу жидкости, вытесненной телом:
\(F_A=P=m_kg={\rho}Vg\), (1)
где \(V\) - объем вытесненной жидкости, равный объему погруженной в кислоту части ареометра.
Если ареометр находится в равновесии, то приложенные к нему силы уравновешены.
\(mg-{\rho}gV=0\).
Сместим ареометр из положения равновесия на величину \(x\) вниз. В силу изменения объема погруженной в жидкость нижней части ареометра изменится и архимедова сила. На ареометр будет действовать равнодействующая сила, направленная вниз:
\(F=mg-{\rho}g(V+\Delta{V})\). (2)
Здесь \(\Delta{V}={\pi}r^2x\) - изменение объема погруженной части прибора. Подставляя в (2) это значение и учитывая (1), получим:
\(F=-{\pi}r^2{\rho}gx=-kx\),
где \(k={\pi}r^2{\rho}g\) - постоянная величина. мы видим, что на ареометр действует сила, пропорциональная смещению, взятому с обратным знаком, т.е. квазиупругая сила. Следовательно, он совершает гармонические колебания, период которых может быть найден по формуле
\(T=2\pi{\sqrt{\frac{m}{k}}}\)
или
\(T=2\pi{\sqrt{\frac{m}{{\pi}r^2{\rho}g}}}=2,5\) с.
Комментарии: (0)