Движение с переменным ускорением

Ускорение зависит от скорости или координат
Автор
Сообщение
Serega4567
#32475 2019-06-24 03:20 GMT

Всем доброго времени суток.

Интересует вот такая ситуация: движение с переменным ускорением. Признаюсь, что я пока только закончил 11-й класс, поэтому мне придётся зайти издалека, чтобы вы лучше смогли понять, что я имею в виду. Возможно, где-то я буду некорректен, но, думаю, смогу донести свою мысль.

В силу определённых обстоятельств я столкнулся с более сложными задачами, для решения которых недостаточно школьных знаний. С интегрированием я знаком посредственно, тем не менее, мне удалось вывести некоторые формулы, которые раньше приводились априори либо доказывались как-то иначе, в частности, законы равнопеременного движения:
Если координата определяется по формуле:
\(x=vt\)
Но скорость при этом линейно изменяется:
\(v=at\)
То зависимость координаты от времени будет следующая:
\(x=\int vdt= \int atdt = {at^2 \over 2}\)
Такое выражение приводится в школьных учебниках, тут я для простоты не учитывал наличия начальной координаты и начальной скорости.

Однако я столкнулся со следующей проблемой: что будет, если ускорение изменяется? Наверное, если бы оно зависело от сторонних величин, можно было бы проинтегрировать ещё раз. Но что делать, если ускорение зависит от координаты или скорости?

Я приведу вот такой пример:

Автомобиль начинает движение вдоль координатной прямой (x0 = 0, v0 = 0) и имеет некоторое начальное ускорение a0. Он испытывает сопротивление воздуха aв, которое зависит от скорости и направлено противоположно движению:

\(a_в=kv^2\)

Где k — некоторый коэффициент, который считается постоянным в данной задаче.
Трение о поверхность дороги пока не учитываем: нас интересует только сопротивление воздуха.
Собственно, вопрос следующий: как вывести зависимость координаты x, скорости v и ускорения a от времени t в таком случае?

Есть ещё одна похожая задача, астрономическая:

Тело с пренебрежительно малой массой без начальной скорости v0 и начального ускорения a0 с некоторого расстояния x0 падает на небесное тело массой M. Вопрос такой: сколько времени t займёт падение?

Когда я участвовал в астрономической олимпиаде, предлагался следующий вариант решения: рассмотрим это падение как вырожденный случай эллиптической орбиты, тогда перицентр находится в центре небесного тела, а апоцентр — на заданном расстоянии x0 от него. Большая полуось в таком случае будет равна половине заданного расстояния x0:
\(a= {x_0 \over 2}\)
Далее используется третий обобщённый закон Кеплера (масса падающего тела пренебрежительно мала, поэтому подставляется M вместо суммы масс):
\({a^3 \over T^2M} = {G \over 4 π^2}\)
Где T — период обращения по орбите, соответственно, время падения t есть не что иное, как половина этого периода:
\(t={ T\over 2}\)

Меня же интересует более универсальный способ решения этой задачи, который позволил бы определить координату x, скорость v и ускорение a в любой момент времени t.
Из закона всемирного тяготения имеем:
\(a={GM \over R^2}\)
В начальный момент времени R = x0, однако в процессе падения R уменьшается.
Получается, что ускорение зависит от расстояния до притягивающего тела, то есть от координат.
Как в таком случае интегрировать, мне неизвестно.

Надеюсь, я достаточно понятно объяснил свою проблему. Как я уже отметил, я ещё только учусь — у меня не так уж и много знаний, возможно, где-то мои рассуждения неверны, где-то я выражаюсь неправильно, поэтому, пожалуйста, объясните мне поподробнее, как нужно поступать в подобных ситуациях. Решить эти задачи мне по-любому придётся, но я буду благодарен, даже если вы подскажите мне, в каком направлении нужно двигаться.

Спасибо.

Anderis
#32477 2019-06-24 07:46 GMT

Серега!

Бежать впереди паровоза не очень удобно, лучше ехать в поезде.

Тебе нужно обращаться к математикам — интегралы это по их части.

На сколько я помню, интеграл — это суммирование, а что ты суммируешь?

Интеграл НЕ ОПРЕДЕЛЯЕТ координату x, скорость v и ускорение a в любой момент времени t.

Изучай математику и не спеши.

«Целкни кобылу в нос — она взмахнет хвостом.»

«Зри в корень»  К.Прутков С 

 

Бульбаш
#32524 2019-06-24 23:23 GMT
#32477 Anderis :

Серега!

Бежать впереди паровоза не очень удобно, лучше ехать в поезде.

Тебе нужно обращаться к математикам — интегралы это по их части.

На сколько я помню, интеграл — это суммирование, а что ты суммируешь?

Интеграл НЕ ОПРЕДЕЛЯЕТ координату x, скорость v и ускорение a в любой момент времени t.

Изучай математику и не спеши.

Ты про дифуры движения что-нибудь слышал, про их решения, ну и как эти решения называются?

Дмитрий Юрьевич

Anderis
#32525 2019-06-25 07:37 GMT
#32524 Бульбаш :
#32477 Anderis :

Серега!

Бежать впереди паровоза не очень удобно, лучше ехать в поезде.

Тебе нужно обращаться к математикам — интегралы это по их части.

На сколько я помню, интеграл — это суммирование, а что ты суммируешь?

Интеграл НЕ ОПРЕДЕЛЯЕТ координату x, скорость v и ускорение a в любой момент времени t.

Изучай математику и не спеши.

Ты про дифуры движения что-нибудь слышал, про их решения, ну и как эти решения называются?

Несмотря на то, что ты подцепил это выражение в сети, ты остаешься невеждой...

«Целкни кобылу в нос — она взмахнет хвостом.»

«Зри в корень»  К.Прутков С 

 

Бульбаш
#32535 2019-06-25 13:49 GMT

Вообще-то я их малость познал в термехе, но и в твоих словах есть правда. С курсом термеха я познакомился в сети. Так, что будем считать счет 1=1(победила дружба). Ну и с плохими словами заканчивай, это тебя не красит.

Дмитрий Юрьевич

Anderis
#32539 2019-06-25 15:30 GMT
#32535 Бульбаш :

Вообще-то я их малость познал в термехе, но и в твоих словах есть правда. С курсом термеха я познакомился в сети. Так, что будем считать счет 1=1(победила дружба). Ну и с плохими словами заканчивай, это тебя не красит.

Я не барышня, чтобы за красотой гоняться.

«Целкни кобылу в нос — она взмахнет хвостом.»

«Зри в корень»  К.Прутков С 

 

Бульбаш
#32546 2019-06-25 19:47 GMT

— Кто скажет, что ты барышня пусть первый бросит в меня камень!

Пойми дружище, стремление к красате заложено в природу мужщины и женщины одинакого БОГОМ!!! 

Не отгораживайся от самого себя.

Будь мне другом, даже больше — братом!

Дмитрий Юрьевич

Anderis
#32547 2019-06-25 20:00 GMT
#32546 Бульбаш :

Будь мне другом, даже больше — братом!

Ты ГОЛУБОЙ?????

«Целкни кобылу в нос — она взмахнет хвостом.»

«Зри в корень»  К.Прутков С 

 

Бульбаш
#32548 2019-06-25 21:52 GMT

С чего ты взял? Разве я тебе предложил стать моей женой!

Страх смерти порой вместо естественной осторожности, подавляет нормальное стремление к полноценному общению. 

Не бойся, я тебя не сьем. Я вегатерианец.

Дмитрий Юрьевич

Anderis
#32551 2019-06-26 07:40 GMT
#32548 Бульбаш :

С чего ты взял? Разве я тебе предложил стать моей женой!

Ты намекаешь весма толсто, что будешь мне хорошей женой. Уже сейчас ты проявлешь заботы обо мне, о моем здоровье.

«Целкни кобылу в нос — она взмахнет хвостом.»

«Зри в корень»  К.Прутков С