собственное значение энергии электрона в атоме водорода

1 задача:

выразить дискретные отрицательные значения энергии через уравнение Шредингера при помощи задачи:

Собственная функция описывающая основное состояние электрона в атоме водорода имеет видΨ(r)=c^((-r)⁄a) ,где a=(4∙π∙ε_(0∙) ℏ^2)/(e^2∙m) (Боровский радиус). Определить расстояние r, на котором вероятность нахождения (dP) электрона максимальна.

dP=|Ψ(r) |^2 dv=Ψ^2∙4∙π∙r^2∙dr=c^2∙e^((-2r)/a)∙4∙π∙r^2∙dr

(c^2∙e^((-2r)/a)∙4∙π∙r^2 )_r^'=c^2∙4∙π∙(e^((-2r)/a)∙((-2r)/a)∙r^2+e^((-2r)/a)∙2∙r)=c^2∙4∙π∙e^((-2r)/a)∙2∙r∙(((-r^2)/a)+1)=0 ⟹

(((-r^2)/a)+1)=0 ⟹ r=√a ⟹ Ответ: r=√((4∙π∙ε_(0∙) ℏ^2)/(e^2∙m))

Далее берем уравнение Шредингера для стационарных состояний:

△^2 Ψ+ 2m/ℏ^2 (E-U)∙Ψ=0

Из задачи ⟹

△^2 Ψ=(c^2∙e^((-2r)/a)∙4∙π∙r^2 )_rr^"= (c^2∙4∙π∙(e^((-2r)/a)∙((-2r)/a)∙r^2+e^((-2r)/a)∙2∙r) )_r^'=

=c^2∙8∙π(e^((-2r)/a)∙((-2r)/a)∙(〖-r〗^3/a)+e^((-2r)/a)∙(〖-3r〗^2/a)+e^((-2r)/a)∙((-2r)/a)∙r+e^((-2r)/a) )=c^2∙8∙π∙e^((-2r)/a) ((2r^4)/a^2 -(3r^2)/a-(2r^2)/a+1)

Выразить из уравнения Шредингера энееергию Е:

2m/ℏ^2 (E-U)∙Ψ=-△^2 Ψ ⟹ (E-U)∙Ψ=-△^2 Ψ∙ ℏ^2/2m ⟹

⟹ E ∙Ψ= -△^2 Ψ∙ ℏ^2/2m+ U∙Ψ ⟹ E= -△^2 Ψ∙ ℏ^2/2mΨ+ U

Если предположить, что электрондвижется совершенно свободно U=0 ⟹

E= -△^2 Ψ∙ ℏ^2/2mΨ

Вопрос: как вывести формулу для собственного значения энергий электрона в атоме водорода(Е_n )?

E_n=-(Z^2∙e^4∙m)/(32∙π^2∙ε_0^2∙ℏ^2∙n^2 )